"Алгебра", Алимов Ш.А.
Умножение многочленов — это способ раскрыть произведение выражений со скобками: каждое слагаемое одного многочлена умножают на каждое слагаемое другого. Затем вычисляют произведения одночленов и объединяют подобные слагаемые. Этот приём помогает упрощать выражения, раскрывать скобки и решать уравнения. Главное — не пропустить ни одной пары слагаемых и внимательно следить за знаками.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многочлен — это сумма одночленов, например 3x² − 2x + 5. Одночлены в такой сумме называют слагаемыми; они могут быть положительными и отрицательными. Это определение помогает увидеть, какие части выражения нужно умножать друг на друга.
Произведение многочленов — результат умножения каждого слагаемого одного многочлена на каждое слагаемое другого. Например, у выражения (a + b)(c + d) будут произведения ac, ad, bc и bd. Так называют не только запись со скобками, но и результат её преобразования.
Распределительное свойство умножения — правило, по которому множитель умножается на каждое слагаемое суммы или разности: k(a + b) = ka + kb. При вычитании оно действует так же: k(a − b) = ka − kb. Именно это свойство позволяет раскрывать скобки, не меняя значения выражения.
Подобные слагаемые — слагаемые с одинаковой буквенной частью, например 2x и −5x. Их можно объединить, сложив или вычтя коэффициенты: 2x − 5x = −3x. Это нужно, чтобы после умножения упростить запись и получить ответ в стандартном виде.
Правило умножения многочленов получается из распределительного свойства. В выражении (a + b)(c + d) сначала можно умножить сумму c + d на a, а затем на b: a(c + d) + b(c + d). Раскрывая обе скобки, получаем ac + ad + bc + bd, то есть каждое слагаемое первого множителя встретилось с каждым слагаемым второго. Если какую-то пару не умножить, равенство нарушится, потому что потеряется часть исходного произведения.
Удобно работать по порядку: раскрыть скобки, выполнить все умножения одночленов, а затем записать полученные слагаемые. Например, в (x + 2)(x + 3) можно сначала умножить x на оба слагаемых второй скобки, а после этого умножить на них 2. Такой порядок превращает задачу в набор простых действий и помогает не запутаться. До приведения подобных слагаемых лучше оставить все попарные произведения на виду.
При умножении одночленов отдельно перемножают числовые коэффициенты и буквенные части. Если основания букв одинаковы, показатели степеней складывают: x² · x³ = x⁵, потому что вместе перемножаются пять множителей x. Например, 2a · 3a² = 6a³: числа 2 и 3 дают 6, а степени a складываются. Если буквы разные, их записывают рядом: 2a · 3b = 6ab.
После умножения в выражении могут появиться слагаемые с одной и той же буквенной частью. Их приводят, то есть складывают или вычитают коэффициенты, поскольку одинаковые буквенные части можно считать одинаковыми предметами: 3x + 2x = 5x. Слагаемые с разными буквами, например x и y, объединить нельзя. Итог обычно записывают в стандартном виде: сначала члены с наибольшими степенями, а подобные слагаемые уже собраны. Такая запись делает выражение короче и облегчает дальнейшие вычисления.
Знак каждого произведения зависит от знаков его множителей. Если знаки одинаковые, результат положительный; если разные — отрицательный: (−2x) · (−3) = 6x, а (−2x) · 3 = −6x. Поэтому знак перед слагаемым нужно учитывать вместе с самим множителем. Например, в (x − 2)(x + 3) произведение −2 · 3 равно −6, а произведение −2 · x равно −2x.
В таблице указано, сколько попарных произведений нужно получить: это произведение числа слагаемых в множителях. Для многочленов с m и n слагаемыми их будет m · n. После вычислений проверьте, можно ли объединить подобные слагаемые.
| Число слагаемых в множителях | Пример произведения | Сколько попарных произведений получить | Что сделать после умножения |
|---|---|---|---|
| Одночлен и двучлен: 1 и 2 | 3x(2x − 5) | 1 · 2 = 2 | Вычислить оба произведения, записать результат |
| Двучлен и двучлен: 2 и 2 | (x + 1)(x − 2) | 2 · 2 = 4 | Привести подобные слагаемые |
| Двучлен и трёхчлен: 2 и 3 | (a + b)(a² + ab + b²) | 2 · 3 = 6 | Собрать подобные слагаемые и записать результат |
| Многочлен и многочлен: m и n слагаемых | (a + b + c)(x + y) | m · n; в примере 3 · 2 = 6 | Привести подобные, если они есть |
Задача 1. Выполните умножение: 3x(2x − 5). Здесь одночлен 3x умножается на двучлен, поэтому нужно получить два произведения. Следим за тем, что число 3x умножается и на 2x, и на −5.
Ответ: 6x² − 15x.
Задача 2. Выполните умножение и приведите подобные слагаемые: (x + 4)(x − 3). В каждом множителе по два слагаемых, поэтому ожидаем четыре попарных произведения. Запишем их все, прежде чем упрощать результат.
Ответ: x² + x − 12.
Задача 3. Упростите выражение: (2a − 3b)(a + 4b) − (a − b)(2a + b). Сначала отдельно раскроем обе пары скобок, чтобы не смешать произведения; затем учтём минус перед второй скобкой. Этот минус означает, что результат второго произведения нужно вычесть целиком.
Ответ: 6ab − 11b².
Первая ошибка — умножить только первые слагаемые, например получить из (x + 2)(x + 3) лишь x². Так делают, если воспринимают скобки как один множитель и забывают о распределительном свойстве. Проверка простая: для двух двучленов должно быть четыре попарных произведения. Перечислите пары или умножайте по очереди каждое слагаемое первой скобки на всю вторую.
Вторая ошибка — умножить одночлен только на первое слагаемое скобки. Например, в 3x(2x − 5) нельзя остановиться на 6x²: множитель 3x действует и на −5. Такая запись часто возникает из-за спешки при раскрытии скобок. Чтобы проверить себя, посчитайте слагаемые внутри скобок и убедитесь, что для каждого записано произведение.
Третья ошибка — неверно определить знак, особенно когда оба множителя отрицательные или отрицателен только один. Например, (−2a)(−3b) = 6ab, а не −6ab, потому что два минуса дают плюс. Ошибку допускают, если смотрят только на знак одного множителя. Перед вычислением отдельно отметьте знаки пары: одинаковые дают плюс, разные — минус.
Четвёртая ошибка — объединить неподобные слагаемые или неправильно сложить коэффициенты. Например, 2a + 3b нельзя заменить на 5ab, а 2x − 5x = −3x. Обычно путают слагаемые, если не проверяют их буквенную часть. Сначала сравните буквы и их степени, а затем объединяйте только совпадающие части, внимательно выполняя действие с коэффициентами.
Для умножения многочленов нужны распределительное свойство, правила действий с отрицательными числами и умножение одночленов. Если уверенно раскрывать скобки и перемножать буквенные части, работа с многочленами сводится к знакомым действиям. Поэтому при затруднении полезно отдельно проверить знак, коэффициент и степень каждой пары множителей.
Умножение многочленов пригодится при преобразовании алгебраических выражений и раскрытии скобок. Оно также помогает упрощать уравнения, чтобы привести их к более удобному виду и найти неизвестное. Чем аккуратнее выполнены попарные произведения и приведение подобных, тем легче продолжить решение.
Почему нужно умножать каждое слагаемое первого многочлена на каждое слагаемое второго?
Так требует распределительное свойство: множитель умножается на каждое слагаемое суммы или разности. Если пропустить хотя бы одну пару, часть произведения не попадёт в ответ.
В каком порядке удобнее перемножать слагаемые?
Можно выбрать любой порядок, но удобнее идти по очереди: взять первое слагаемое первого многочлена и умножить его на все слагаемые второго, затем повторить для следующего. Так легче проверить, что ни одна пара не пропущена.
Как определить знак каждого попарного произведения?
Сначала определите знаки двух множителей: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус. Например, (−a) · (−b) = ab, а (−a) · b = −ab.
Можно ли складывать слагаемые с разными буквенными частями?
Нет, такие слагаемые не являются подобными, поэтому их нельзя объединить. Например, 3a и 3b остаются разными слагаемыми.
Как проверить, что многочлены перемножены правильно?
Проверьте, что каждое слагаемое первого многочлена умножено на каждое слагаемое второго, а знаки и степени посчитаны верно. Для дополнительной проверки можно подставить вместо букв простые числа в исходное выражение и в результат: значения должны совпасть.
§ 17. Умножение многочлена на многочлен
