"Алгебра", Алимов Ш.А.
При делении одночленов делят числовые коэффициенты и вычитают показатели одинаковых буквенных множителей. Такое преобразование помогает упрощать алгебраические выражения. Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно разделить на него каждое слагаемое, не меняя его знак. Деление возможно, когда в каждом делимом одночлене степени переменных достаточно велики, чтобы после вычитания показатели в ответе не стали отрицательными.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Одночлен — это произведение чисел и переменных, возведённых в неотрицательные целые степени. Например, в выражении −6a³b числовая часть −6 называется коэффициентом, а буквенная часть a³b состоит из переменных. Коэффициент может быть положительным, отрицательным или равным 1. Эти части удобно различать, потому что при делении их обрабатывают отдельно.
Многочлен — сумма одночленов, например 3x² − 2x + 5. Каждый одночлен в такой записи является отдельным слагаемым, в том числе слагаемое со знаком минус. Представление многочлена как суммы помогает применить деление к каждому его слагаемому. Так становится понятно, какие действия нужно выполнить и где сохранить знак.
Деление одночлена на одночлен — операция, при которой отдельно делят коэффициенты и буквенные части. Для переменных с одинаковыми основаниями показатели степеней при этом вычитают. Деление выполнимо в одночленах с неотрицательными степенями, если каждая переменная делителя есть в делимом в достаточной степени. Это условие не позволяет получить в частном отрицательный показатель.
Деление многочлена на одночлен — деление каждого слагаемого многочлена на один и тот же одночлен. Оно возможно, когда каждое такое деление выполнимо. Полученные частные записывают как сумму, сохраняя знаки исходных слагаемых. Это определение показывает, почему нельзя разделить только первый член многочлена.
При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитают, потому что частное должно при умножении на делитель дать делимое. Например, x⁵ : x² = x³: проверка даёт x³ · x² = x⁵. Если в общем случае разделить aᵐ на aⁿ, то множители a, которые есть и в делимом, и в делителе, сокращаются попарно. Остаётся aᵐ⁻ⁿ, поэтому показатель частного равен разности показателей.
Чтобы разделить одночлен на одночлен, сначала раздели их числовые коэффициенты, учитывая знаки. Затем для каждой общей переменной вычти показатель делителя из показателя делимого. Переменные, которые не изменились, тоже запиши в ответ. Например, 18a⁵b³ : 6a²b даёт коэффициент 3, степень a равна 5 − 2, а степень b — 3 − 1.
До вычислений проверь, возможно ли деление. Сравни показатели каждой переменной в делимом и делителе: показатель в делимом должен быть не меньше. Если переменной нет в одночлене, её показатель можно считать равным нулю. Например, выражение x² : x³ не даёт одночлен с неотрицательной степенью, потому что 2 меньше 3; такое деление здесь не выполняется.
Деление суммы на одночлен связано с распределительным свойством: если каждое слагаемое разделить на число или выражение, общий результат будет таким же, как при делении всей суммы. Поэтому многочлен делят по членам: (A + B) : C = A : C + B : C, если все частные существуют. Важно, что это правило применяют к каждому слагаемому, а не только к первому. Знаки перед слагаемыми при этом остаются на своих местах.
Частное многочлена записывают как сумму частных отдельных слагаемых, уже учитывая их знаки. Например, из положительного слагаемого получится положительное частное, если делитель положителен, а из отрицательного — отрицательное. Проверка проста: умножь результат на делитель и раскрой скобки, если они есть. Должен получиться исходный многочлен.
| Что делим | Как выполнить | Когда деление возможно | Вид результата |
|---|---|---|---|
| Одночлен на одночлен | Коэффициенты делят, показатели одинаковых переменных вычитают | Степень каждой переменной в делимом не меньше её степени в делителе | Одночлен |
| Многочлен на одночлен | Каждое слагаемое делят на одночлен отдельно | Каждое слагаемое делится на данный одночлен | Сумма полученных одночленов |
Сначала найди в таблице строку, которая подходит к выражению: делится один одночлен или многочлен. Затем проверь условие делимости, особенно если в делителе есть несколько переменных. Столбец с видом результата помогает убедиться, что после вычислений получилась подходящая запись.
Задача 1. Выполните деление: 18a⁵b³ : 6a²b. Здесь и делимое, и делитель — одночлены. Сначала проверим буквенную часть: 5 ≥ 2 для a и 3 ≥ 1 для b, значит отрицательных показателей не появится. Теперь отдельно вычислим коэффициент и степени букв.
Ответ: 3a³b². Проверка подтверждает, что частное при умножении на делитель возвращает исходный одночлен.
Задача 2. Выполните деление: (12x³ − 8x² + 4x) : 4x. Делимое — многочлен, поэтому будем делить каждое слагаемое на 4x. Во всех слагаемых есть x в степени не меньше первой, значит деление выполнимо. Знак каждого слагаемого учитываем вместе с его коэффициентом.
Ответ: 3x² − 2x + 1. Если умножить эту сумму на 4x, снова получится 12x³ − 8x² + 4x.
Задача 3. Выполните деление: (15a⁴b² − 10a³b + 5a²b³) : 5a²b. Перед вычислением проверим каждое слагаемое: степени a равны 4, 3 и 2, а степени b — 2, 1 и 3. Во всех случаях показатель a не меньше 2, а показатель b не меньше 1. Значит, все три деления можно выполнить.
Ответ: 3a²b − 2a + b². При умножении каждого члена результата на 5a²b получаются исходные слагаемые, включая второе, отрицательное.
Можно разделить только коэффициенты и оставить буквенную часть без изменений. Так ошибаются, если воспринимают одночлен как одно число и не разбирают его на множители. Например, при делении 18a⁵b³ на 6a²b нужно обработать и a, и b. Проверь себя: в ответе должны быть учтены все переменные делимого и делителя.
Другая ошибка — складывать показатели при делении. Обычно так происходит из-за смешения правил умножения и деления степеней: при умножении показатели складывают, а при делении вычитают. Проверка через умножение сразу обнаруживает промах: частное, умноженное на делитель, должно дать делимое. Если показатели сложить, это равенство не выполнится.
При делении многочлена иногда делят только первое слагаемое. Причина в том, что знак деления рядом с многочленом можно ошибочно связать лишь с первым членом. На самом деле действует распределительное свойство, поэтому делить нужно каждое слагаемое. Проверь количество полученных частных: их должно быть столько же, сколько слагаемых в исходном многочлене.
Ещё одна ошибка — потерять минус перед слагаемым или неверно определить знак частного. Это случается, когда считают только числовые модули и не следят за знаками. Делитель и слагаемое рассматривай вместе: например, отрицательный коэффициент, делённый на положительный, даёт отрицательный результат. Для проверки умножь каждый член частного на делитель и сравни знак с исходным слагаемым.
Для деления нужно знать, что такое одночлен и многочлен, уметь находить коэффициент и буквенную часть одночлена. Также понадобятся правила деления чисел и свойство степеней с одинаковым основанием: при делении показатели вычитаются. Если эти действия уже знакомы, новый алгоритм можно применять к выражениям с несколькими переменными.
Деление на одночлен пригодится при упрощении алгебраических выражений и преобразовании многочленов. Оно позволяет заменить длинную запись более короткой, сохранив её значение. Проверка умножением связывает деление с обратной операцией и помогает находить вычислительные ошибки.
Почему при делении степеней показатели вычитают?
Частное при умножении на делитель должно дать делимое. Например, x⁵ : x² = x³, потому что x³ · x² = x⁵, а при умножении показатели складываются.
Можно ли разделить одночлен, если какой-то переменной в делимом нет?
Если переменная есть в делителе, но отсутствует в делимом, деление в рамках одночленов с неотрицательными степенями невозможно. Можно считать, что в делимом показатель этой переменной равен нулю, и проверить условие: он должен быть не меньше показателя в делителе.
Нужно ли делить на одночлен каждое слагаемое многочлена?
Да, если деление каждого слагаемого выполнимо. Деление суммы на одночлен распределяется по всем слагаемым, поэтому ни одно из них нельзя пропускать.
Что делать со знаком минус перед слагаемым?
Сохранять его при делении. Знак результата определяют по обычному правилу: минус, делённый на плюс, даёт минус, а минус, делённый на минус, даёт плюс.
Как проверить результат деления?
Умножить полученное частное на делитель. Если вышел исходный одночлен или многочлен, деление выполнено верно.
§ 18. Деление одночлена и многочлена на одночлен
