§ 18. Деление одночлена и многочлена на одночлен

Определения и обозначения

Одночлен — это произведение числового коэффициента и степеней переменных: например, −3a²b или ½x⁴. Числовой множитель может быть не только целым, но и дробным. Понятие одночлена нужно, чтобы правильно разделять выражение на коэффициент и переменные.

Многочлен — это сумма одночленов, например 4x³ − 2x + 7. Его можно представить как сумму отдельных слагаемых, учитывая знак каждого из них. Такое представление нужно для деления многочлена по частям.

Деление одночлена на одночлен означает отдельное деление числовых коэффициентов и степеней одинаковых переменных. Например, в выражении 12a⁴ : 3a² коэффициенты делятся отдельно, а степени a — по правилу вычитания показателей. Так сложное выражение превращается в более простой одночлен.

Деление многочлена на одночлен — это деление каждого слагаемого многочлена на один и тот же одночлен. Например, в выражении (6x² + 9x) : 3x нужно выполнить два деления. Такой способ позволяет применить распределительное свойство и не потерять ни одного слагаемого.

Как это устроено

При делении одночленов сначала делят числовые коэффициенты, а затем работают с одинаковыми переменными. Показатели степеней одинаковых переменных вычитают: a⁷ : a³ = a⁷⁻³ = a⁴. Переменные, которые встречаются только в одной части, переносят в результат с их прежними показателями.

Показатели вычитают потому, что степени обозначают умножение одинаковых множителей. Например, a⁵ : a² = (a · a · a · a · a) : (a · a); две пары множителей сокращаются, и остаётся a³. Поэтому правило деления степеней с одинаковым основанием имеет вид aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ при a ≠ 0.

Коэффициент частного не обязан быть целым: 3x⁴ : 2x² = ³⁄₂x². Чтобы результат оставался одночленом с неотрицательными показателями, показатель каждой переменной в делимом должен быть не меньше соответствующего показателя в делителе. Если это условие нарушено, появляется отрицательная степень, которую в рамках данного правила обычно не записывают как одночлен.

Деление многочлена на одночлен основано на распределительном свойстве: (A + B) : C = A : C + B : C. Поэтому делитель применяют к каждому слагаемому отдельно, сохраняя знаки перед ними. Например, (8x³ − 4x²) : 2x = 8x³ : 2x − 4x² : 2x.

Перед вычислением нужно проверить каждое слагаемое и сам делитель. Если делитель равен нулю, выражение не имеет смысла, а если в каком-либо слагаемом не хватает степени переменной, получить обычный одночленный результат нельзя. Такая проверка помогает не выполнить допустимое только на вид преобразование.

Правила деления одночлена и многочлена на одночлен

Пользуйся таблицей как алгоритмом: сначала определи вид делимого, затем проверь условие и выбери правило. В конце полезно умножить полученный результат на делитель и убедиться, что получилось исходное выражение.

Разбор задач

Задача 1

Разделим 18a⁵b³ на 6a²b. Здесь делитель содержит те же переменные, поэтому отдельно обработаем коэффициенты и каждую пару одинаковых переменных. Показатели будем вычитать только у одинаковых переменных.

1. Разделим коэффициенты: 18 : 6 = 3.
2. Для a вычтем показатели: a⁵ : a² = a³.
3. Для b вычтем показатели: b³ : b = b².

Ответ: 18a⁵b³ : 6a²b = 3a³b².

Задача 2

Найдём частное (12x⁴ − 8x³ + 4x²) : 4x². В многочлене три слагаемых, значит, делитель нужно применить к каждому из них. Знаки перед слагаемыми сохраняются, потому что делитель положительный.

1. 12x⁴ : 4x² = 3x².
2. −8x³ : 4x² = −2x.
3. 4x² : 4x² = 1.
4. Соединим результаты: 3x² − 2x + 1.

Ответ: (12x⁴ − 8x³ + 4x²) : 4x² = 3x² − 2x + 1.

Задача 3

Проверим, можно ли разделить (6a³b² + 9a²b) на 3a²b. Делитель не равен нулю, а в каждом слагаемом показатели a и b не меньше соответствующих показателей делителя. Значит, деление возможно.

1. 6a³b² : 3a²b = 2ab.
2. 9a²b : 3a²b = 3.
3. Сложим полученные частные с исходным знаком: 2ab + 3.

Ответ: да, частное равно 2ab + 3.

Типичные ошибки

Вычитание показателей у разных переменных — ошибка: нельзя превращать a³b² в одну общую степень. Показатели вычитают только у одинаковых переменных. Проверяй каждую букву отдельно и сохраняй её в результате.

Иногда делят только первое слагаемое многочлена, потому что оно стоит в начале выражения. Но распределительное свойство требует разделить каждое слагаемое. Проведи черту мысленно над всем многочленом и выполни одинаковое действие со всеми его частями.

Ошибки со знаком или коэффициентом возникают, когда минус перед слагаемым не замечают или неверно делят числа. Сначала разделяй коэффициенты вместе со знаками: (−12) : 3 = −4. Затем отдельно работай со степенями и проверь результат обратным умножением.

Нельзя пропускать проверку делимости и допускать деление на нуль. Если хотя бы одно слагаемое не даёт одночлена с неотрицательными показателями, нужное преобразование невозможно в таком виде. Перед решением проверь делитель и показатели всех переменных.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны понятия одночлена и многочлена, правила умножения степеней с одинаковым основанием и распределительное свойство умножения. Эти знания объясняют, из каких частей состоит выражение и почему делитель можно применять к каждому слагаемому.

Деление на одночлен пригодится при упрощении алгебраических выражений и преобразовании многочленов. Оно также помогает проверять результаты умножением и готовит к дальнейшей работе с буквенными дробями.

Что запомнить

• При делении одночленов коэффициенты делят.
• Показатели одинаковых переменных вычитают.
• Делитель не должен быть равен нулю.
• При делении многочлена делят каждое слагаемое.
• Деление многочлена на одночлен возможно, если делится каждое слагаемое.
• Знаки слагаемых при делении сохраняются с учётом знака делителя.