§ 19. Вынесение общего множителя за скобки

Определения и обозначения

Общий множитель — число, переменная или выражение, которое является множителем каждого слагаемого многочлена. Например, в выражении 6x + 9 общий числовой множитель равен 3. Его поиск показывает, какую часть суммы можно заменить одним множителем.

Вынесение общего множителя за скобки — представление суммы или разности в виде произведения общего множителя на выражение в скобках. Например, 4a + 4b = 4(a + b). Такой приём основан на обратном применении распределительного свойства умножения.

Разложение многочлена на множители — запись многочлена в виде произведения нескольких выражений. Так, 12x + 18 = 6(2x + 3) — это разложение на множители. Оно позволяет заменить сложение умножением и часто делает дальнейшие преобразования проще.

Как это устроено

Сначала ищут общий числовой множитель слагаемых. Для этого находят наибольший общий делитель их коэффициентов, потому что он делит каждый коэффициент и позволяет вынести наибольшую возможную числовую часть. Например, для 12 и 18 это число 6, а не 3 или 2.

Затем определяют общую буквенную часть. В неё входят только переменные, присутствующие во всех слагаемых, поскольку отсутствующую переменную нельзя получить умножением обратно. Для каждой общей переменной берут наименьшую степень: именно такая степень точно содержится в каждом слагаемом.

Вынесение основано на распределительном свойстве умножения относительно сложения и вычитания: a(b + c) = ab + ac. Если прочитать это равенство справа налево, общий множитель у двух слагаемых объединяется перед скобками. Поэтому после обратного умножения обязательно должна восстановиться исходная сумма.

Чтобы записать результат, каждое слагаемое делят на вынесенный множитель. Полученные частные помещают в скобки в том же порядке, а их знаки сохраняют. Например, при делении −10x² на 5x получается −2x, поэтому в скобках обязательно появится отрицательный член.

Готовое разложение проверяют раскрытием скобок. Если вынесен отрицательный множитель, знаки в скобках меняются: −3(2x − 5) = −6x + 15. Иногда отрицательный множитель выбирают специально, чтобы первый член в скобках был положительным и выражение выглядело удобнее.

Вынесение общего множителя за скобки

В таблице сначала найдите число и буквы, общие для всех слагаемых, а затем сравните результат с раскрытием скобок. Последний столбец показывает обратное действие и помогает быстро обнаружить ошибку в знаке или делении. Если после проверки получается исходное выражение, разложение верно.

Разбор задач

Задача 1. Разложите на множители 12x + 18.

В обоих слагаемых есть общий числовой делитель, но буква x присутствует только в первом. Поэтому ищем общий множитель среди коэффициентов 12 и 18. Наибольший общий делитель этих чисел равен 6.

1. Делим первое слагаемое на 6: 12x : 6 = 2x.
2. Делим второе слагаемое на 6: 18 : 6 = 3.
3. Записываем частные в скобках: 12x + 18 = 6(2x + 3).

Ответ: 6(2x + 3). Проверка: 6 · 2x + 6 · 3 = 12x + 18.

Задача 2. Разложите на множители 15a²b − 10ab².

Коэффициенты 15 и 10 имеют наибольший общий делитель 5. Буквы a и b встречаются в обоих слагаемых, причём наименьшие степени равны a¹ и b¹. Значит, удобно вынести множитель 5ab.

1. Находим частное первого слагаемого: 15a²b : 5ab = 3a.
2. Находим частное второго слагаемого: 10ab² : 5ab = 2b, а знак перед ним остаётся минусом.
3. Получаем 15a²b − 10ab² = 5ab(3a − 2b).

Ответ: 5ab(3a − 2b). При раскрытии скобок исходные степени и знаки восстанавливаются.

Задача 3. Разложите на множители −6x³ + 9x² − 3x.

Общая числовая часть равна 3, а общая буквенная часть — x. Можно вынести 3x, но тогда первый член в скобках будет отрицательным. Выберем −3x, чтобы первый член внутри скобок получился положительным.

1. −6x³ : (−3x) = 2x².
2. 9x² : (−3x) = −3x, а −3x : (−3x) = 1.
3. Следовательно, −6x³ + 9x² − 3x = −3x(2x² − 3x + 1).

Ответ: −3x(2x² − 3x + 1). Проверка раскрытием скобок даёт −6x³ + 9x² − 3x.

Типичные ошибки

Иногда выносят только общий числовой делитель и не замечают общую переменную. Например, в 12x + 18 можно вынести 6, но в выражениях с общей буквой стоит проверить и её. Сравните каждый исходный член с выбранным множителем и убедитесь, что дальнейшее вынесение невозможно.

Другая ошибка — выбор наибольшей степени переменной. В выражении 15a²b − 10ab² нельзя вынести a², потому что во втором слагаемом есть только a¹. Нужно выбирать наименьшую степень, встречающуюся во всех слагаемых.

При делении слагаемого иногда ошибаются в коэффициенте или теряют знак. Такая ошибка появляется, если делить только числа или не учитывать знак перед членом. Умножьте каждый полученный член скобок обратно на общий множитель.

При вынесении отрицательного множителя знаки внутри скобок должны измениться. Если этого не сделать, раскрытие скобок даст противоположные знаки и не совпадёт с исходным многочленом. Всегда проверяйте первый и последний члены отдельно.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания, а также умение находить общий делитель чисел. Эти знания объясняют, почему множитель можно перенести перед скобками и как правильно выполнить деление слагаемых.

Вынесение общего множителя помогает упрощать выражения и решать уравнения. Оно является первым шагом во многих способах разложения многочленов на множители, поэтому пригодится в следующих темах алгебры.

Что запомнить

• Общий множитель должен быть множителем каждого слагаемого.
• Числовой множитель выбирают общим делителем коэффициентов.
• Степень общей переменной не превышает её наименьшую степень среди слагаемых.
• Каждое слагаемое в скобках получают делением исходного слагаемого на вынесенный множитель.
• При вынесении отрицательного множителя знаки слагаемых в скобках меняются.
• Раскрытие скобок помогает проверить разложение.