"Алгебра", Мордкович А.Г., Николаев Н.П.
Вынесение общего множителя за скобки помогает представить многочлен в виде произведения и упростить выражение. Для этого находят число, переменную или выражение, которое является множителем каждого члена, а затем делят на него каждый член. В скобках записывают результаты деления, сохраняя знаки. Главное — вынести общий множитель в наибольшем возможном виде и проверить ответ раскрытием скобок.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Общий множитель — это число, переменная или выражение, которое входит множителем в каждый член многочлена. Чтобы его найти, сравнивают коэффициенты и буквенные части всех членов: ищут общий делитель чисел и переменные, которые встречаются везде. Например, у 6x и 9 общий множитель — 3. Он нужен, чтобы сгруппировать одинаковую часть выражений и упростить запись.
Вынесение общего множителя за скобки — преобразование суммы или разности произведений в произведение общего множителя на выражение в скобках. Например, 4x + 4y можно записать как 4(x + y). Это преобразование основано на распределительном свойстве умножения и позволяет сделать выражение компактнее, а иногда — подготовить его к дальнейшим вычислениям.
Разложение многочлена на множители — представление многочлена в виде произведения нескольких выражений. Например, запись 4(x + y) является разложением многочлена 4x + 4y на множители. Вынесение общего множителя — один из способов такого разложения: оно помогает увидеть, из каких множителей состоит многочлен, и может упростить решение задач.
Сначала рассматривают каждый член многочлена отдельно и находят то, что повторяется во всех. У числовых коэффициентов ищут общий делитель, а среди букв — переменные, присутствующие в каждом члене. Переменная, которая есть хотя бы в одном члене, но отсутствует в другом, общей не является. Например, в 6x и 9 нельзя вынести x, потому что во втором члене такой переменной нет.
Общий множитель можно вынести благодаря распределительному свойству: a(b + c) = ab + ac. Вынесение множителя выполняет это действие в обратном направлении: из ab + ac получают a(b + c). Это равенство верно, потому что при раскрытии скобок множитель a снова умножается на каждый член. Поэтому вынесение множителя не меняет значение выражения, а лишь меняет его форму.
Чтобы определить, что оставить в скобках, каждый член исходного многочлена делят на выбранный общий множитель. Например, если из 6x + 9 выносят 3, то 6x : 3 = 2x, а 9 : 3 = 3. В скобках получаются 2x + 3. Знаки при делении сохраняют: если член был отрицательным, то при положительном вынесенном множителе соответствующий результат в скобках тоже будет отрицательным.
Часто удобно выносить наибольший общий множитель. Для числовых коэффициентов это наибольший общий делитель, а для общей переменной — её наименьшая степень среди всех членов. Например, в 8a²b и 12ab² числовой общий делитель равен 4, общие переменные — a и b, а наименьшие степени равны a¹ и b¹. Значит, можно вынести 4ab: более высокие степени букв останутся в скобках.
После записи произведения полезно выполнить обратное действие — раскрыть скобки. Умножьте вынесенный множитель на каждый член внутри скобок и сравните результат с исходным многочленом. Должны совпасть все члены, их коэффициенты и знаки. Такая проверка обнаруживает ошибки в делении и помогает убедиться, что множитель действительно был общим.
| Шаг | Что сделать | На что обратить внимание |
|---|---|---|
| Найти общий множитель всех членов | Сравнить числовые коэффициенты и буквенные части | Множитель должен делить каждый член |
| Выбрать наибольший общий множитель | Взять наибольший общий числовой делитель и общие переменные | У переменных выбрать наименьшие степени |
| Разделить каждый член на вынесенный множитель | Выполнить деление отдельно для каждого члена | Не пропустить член и сохранить его знак |
| Записать произведение множителя и выражения в скобках | Поставить общий множитель перед скобками, результаты деления — внутрь | Соблюдать исходный порядок членов |
| Проверить результат раскрытием скобок | Умножить множитель на каждый член в скобках | Сравнить полученное выражение с исходным |
Пользуйтесь таблицей последовательно: не переходите к записи скобок, пока не нашли общий множитель всех членов. Деление удобно выполнять по одному члену, чтобы не потерять знак или слагаемое. В конце раскройте скобки и сравните результат с исходным выражением.
В выражении два члена: 6x и 9. Переменной x в числе 9 нет, поэтому вынести её нельзя; зато коэффициенты 6 и 9 делятся на 3. Выберем 3 и проверим, что получится после деления каждого члена.
Ответ: 3(2x + 3).
Здесь оба члена содержат переменные a и b, но в разных степенях. Для коэффициентов 8 и 12 наибольший общий делитель равен 4. У a наименьшая общая степень — первая, и у b тоже первая, поэтому наибольший общий множитель равен 4ab.
Ответ: 4ab(2a − 3b).
Теперь нужно найти часть, общую сразу для трёх членов. Коэффициенты 15, 10 и 5 делятся на 5; во всех членах есть x² и y. Значит, наибольший общий множитель — 5x²y, а в скобках окажутся три результата деления.
Ответ: 5x²y(3x − 2y + 1).
Иногда выносят множитель, которого нет в каждом члене. Например, нельзя вынести x из 6x + 9: число 9 на x не делится. Такую ошибку допускают, замечая букву лишь в части выражения. Проверьте предполагаемый множитель отдельно для каждого члена: если хотя бы один не делится на него, этот множитель не общий.
Другая ошибка — взять слишком высокую степень общей переменной. Например, из a³ и a² нельзя вынести a³, поскольку a² : a³ не даёт одночлен с натуральной степенью переменной. Обычно это происходит, когда ориентируются на самый большой показатель в одном члене. Сравните степени во всех членах и выберите наименьшую.
При делении легко потерять знак отрицательного члена. Например, при вынесении положительного множителя из разности знак минус должен остаться в скобках: 8a − 12 = 4(2a − 3). Ошибка появляется, если считать только коэффициенты и не переписать знак. Перед проверкой отдельно сравните знаки исходных членов и результатов деления.
Нельзя делить на общий множитель только часть членов. Тогда при раскрытии скобок некоторые слагаемые не восстановятся, и получится не исходный многочлен. Это случается, если выполнять деление слишком быстро или пропустить член. Пересчитайте члены: каждому члену исходного выражения должен соответствовать результат в скобках, после чего проверьте всё раскрытием скобок.
Для этой темы нужно знать распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания. Оно объясняет, почему общий множитель можно вынести: действие является обратным раскрытию скобок. Также пригодится деление одночленов, ведь каждый член многочлена нужно разделить на вынесенный множитель.
Вынесение общего множителя используют при разложении многочленов на множители и упрощении выражений. Оно помогает преобразовать запись к виду, удобному для дальнейших действий. В уравнениях разложение на множители может помочь найти значения переменной, при которых произведение равно нулю.
Как найти общий множитель нескольких членов?
Найдите наибольший общий числовой делитель коэффициентов и переменные, которые есть в каждом члене. Если переменная встречается в разных степенях, учитывайте её наименьшую степень.
Какую степень переменной выносить за скобки?
Выносите наименьшую степень переменной из тех, что встречаются во всех членах. Например, из x³ и x² можно вынести x².
Можно ли вынести общий множитель, если один из членов отрицательный?
Да, можно: отрицательный член тоже делят на общий множитель. Его знак сохраняют в скобках, если вынесенный множитель положительный.
Что записывать в скобках после вынесения множителя?
В скобках записывают результат деления каждого члена многочлена на вынесенный множитель. Члены и их знаки оставляют в исходном порядке.
Как проверить, правильно ли выполнено разложение?
Раскройте скобки, умножив вынесенный множитель на каждый член внутри скобок. Если получился исходный многочлен с теми же знаками и членами, разложение верное.
§ 28. Вынесение общего множителя за скобки
