§ 31. Вынесение общего множителя за скобки

Определения и обозначения

Общий множитель — число, переменная или выражение, которое является множителем каждого слагаемого многочлена. Например, в выражении 6x + 9 числом 3 делятся оба слагаемых, поэтому 3 — их общий множитель. Поиск такой части помогает увидеть, можно ли заменить сумму более удобной записью.

Вынесение общего множителя за скобки — преобразование суммы в произведение: общий множитель записывают перед скобками, а внутри оставляют частные от деления слагаемых на него. Например, 6x + 9 = 3(2x + 3), потому что 6x : 3 = 2x, а 9 : 3 = 3. Это правило позволяет записывать выражение короче и выполнять дальнейшие преобразования.

Разложение многочлена на множители — представление многочлена в виде произведения нескольких выражений. В записи 3(2x + 3) множителями являются 3 и выражение в скобках. Разложение полезно, когда произведение удобнее исходной суммы, например при сокращении дробей или решении уравнений.

Как это устроено

Основа приёма — распределительное свойство: ab + ac = a(b + c). При раскрытии скобок множитель a умножается на каждое слагаемое, и снова получается ab + ac. Значит, вынесение множителя — обратное действие к раскрытию скобок, а проверить его можно обратным преобразованием.

Чтобы найти общий числовой множитель, рассматривают коэффициенты — числа перед буквенной частью каждого слагаемого. Выбирают их наибольший общий делитель, то есть наибольшее число, на которое делятся все коэффициенты без остатка. Тогда числовую часть удаётся вынести полностью, и в скобках не останется очевидного общего делителя.

Общий буквенный множитель находят отдельно для каждой переменной. Переменная должна встречаться в каждом слагаемом, иначе её нельзя вынести из всей суммы. Если степени различаются, выбирают наименьшую: например, из a² и a³ можно вынести a², но нельзя вынести a³, поскольку первое слагаемое на него не делится.

Действовать удобно по порядку: сначала найти общий числовой и буквенный множитель, затем разделить на него каждое слагаемое. Полученные частные записать в скобках, сохранив их знаки, и проверить результат раскрытием скобок. Деление каждого слагаемого необходимо, потому что множитель перед скобками при раскрытии умножится на каждое из них.

Если выносят отрицательный множитель, каждое слагаемое делят на отрицательное число или выражение. Поэтому знак каждого частного меняется: например, −6x + 9 = −3(2x − 3). При раскрытии скобок получаем −6x + 9, так что исходные знаки восстановились; это подтверждает правильность преобразования.

Как вынести общий множитель за скобки

Пользуйся таблицей как последовательностью поиска: сначала проверь числа, затем переменные и их степени. После записи произведения раскрой скобки и сравни результат с исходным выражением. Если слагаемые совпали, преобразование выполнено верно.

Разбор задач

Разложите на множители 6x + 9.

1. Смотрим на коэффициенты 6 и 9. Их наибольший общий делитель равен 3.
2. Делим каждое слагаемое на 3: 6x : 3 = 2x, 9 : 3 = 3. Буквенной общей части нет, поэтому остаются частные 2x и 3.
3. Записываем множитель перед скобками: 6x + 9 = 3(2x + 3). Проверяем: 3 · 2x + 3 · 3 = 6x + 9.

Ответ: 3(2x + 3).

Разложите на множители 12a²b − 8ab².

1. Находим общий числовой множитель коэффициентов 12 и 8: это 4. Из букв общими являются a и b.
2. Наименьшая степень a в слагаемых — первая, и наименьшая степень b — тоже первая. Значит, полный общий множитель равен 4ab.
3. Делим слагаемые на 4ab: 12a²b : 4ab = 3a, а 8ab² : 4ab = 2b. Второе слагаемое было отрицательным, поэтому его знак сохраняется.
4. Записываем результат: 12a²b − 8ab² = 4ab(3a − 2b). При раскрытии скобок получаются исходные слагаемые.

Ответ: 4ab(3a − 2b).

Разложите на множители −15x³ + 10x² − 5x.

1. Коэффициенты делятся на 5, а во всех слагаемых есть x. Наименьшая степень этой переменной — первая, значит, общий множитель по величине равен 5x.
2. Выбираем множитель −5x, чтобы старший член в скобках был положительным. Делим каждое слагаемое: −15x³ : (−5x) = 3x², 10x² : (−5x) = −2x, −5x : (−5x) = 1.
3. Записываем частные в скобках: −15x³ + 10x² − 5x = −5x(3x² − 2x + 1). Знаки изменились по сравнению с делением на положительный 5x.
4. Проверяем: −5x · 3x² = −15x³, −5x · (−2x) = 10x², −5x · 1 = −5x. Получили исходный многочлен.

Ответ: −5x(3x² − 2x + 1).

Типичные ошибки

Можно вынести только общий числовой множитель и не заметить общие переменные. Например, после выноса 4 из 12a²b − 8ab² в скобках останется общий множитель ab, значит, разложение ещё можно продолжить. Такая ошибка возникает, если проверять только коэффициенты; проверь также, какие буквы есть в каждом слагаемом.

Другая ошибка — разделить на общий множитель не каждое слагаемое или неверно вычислить одно из частных. Тогда при раскрытии скобок часть исходного выражения не восстановится. Чтобы проверить себя, умножь вынесенный множитель на каждый член скобок по отдельности и сравни все слагаемые с исходными.

При вынесении отрицательного множителя иногда оставляют прежние знаки в скобках. Например, −6x + 9 нельзя записать как −3(2x + 3), потому что раскрытие даст −6x − 9. Раздели каждое слагаемое на отрицательный множитель: знаки частных должны измениться, а раскрытие скобок должно вернуть исходное выражение.

Нельзя выносить переменную в степени, большей, чем она есть хотя бы в одном слагаемом. Например, из a² + a³ нельзя вынести a³: выражение a² не делится на a³ как многочлен. Сравни степени переменной во всех слагаемых и выбери наименьшую; затем проверь, что каждое частное осталось допустимым.

Связь с другими темами

Для вынесения множителя нужно знать распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания: оно объясняет, почему преобразование работает и как его проверить. Вынесение общего множителя — один из способов разложения многочленов на множители. Позже этот приём поможет сокращать дроби, когда числитель и знаменатель имеют общий множитель, и решать уравнения, преобразуя их к произведению.

Что запомнить

• Общий множитель должен входить в каждое слагаемое.
• Числовой множитель выбирают как общий делитель коэффициентов.
• Общую переменную выносят в наименьшей степени.
• Каждое слагаемое в скобках получается делением на вынесенный множитель.
• Если вынести минус, знаки всех слагаемых в скобках меняются.
• Правильность разложения проверяют раскрытием скобок.