"Алгебра", Алимов Ш.А.
Вынесение общего множителя за скобки превращает сумму или разность одночленов в произведение. Для этого находят множитель, который есть в каждом слагаемом, и записывают его перед скобками, а внутри — результаты деления слагаемых на него. Приём основан на распределительном свойстве умножения и помогает раскладывать многочлены на множители. Проверить ответ можно, раскрыв скобки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Общий множитель — число, переменная или произведение, входящее множителем в каждый член многочлена. Например, в выражении 6x + 9 общий числовой множитель — 3, а в 12a²b − 8ab² общая буквенная часть — ab. Поиск общего множителя помогает понять, что можно записать перед скобками.
Вынесение общего множителя за скобки — преобразование суммы или разности в произведение, при котором общий множитель записывают перед скобками. Так, вместо 3x + 3y можно написать 3(x + y). Это действие позволяет представить выражение компактнее и увидеть, из каких множителей оно состоит.
Разложение многочлена на множители — представление многочлена в виде произведения нескольких множителей. Например, запись 6x + 9 = 3(2x + 3) показывает такое разложение. Оно нужно, чтобы преобразовывать выражения и выполнять дальнейшие действия с ними.
Основа вынесения множителя — распределительное свойство умножения относительно сложения: ab + ac = a(b + c). В прямом направлении множитель a умножают на каждое слагаемое в скобках. Если прочитать равенство наоборот, видно, как из суммы двух произведений получить одно произведение. Проверка выполняется тем же свойством: раскрываем скобки и сравниваем результат с исходным выражением.
Чтобы найти общий числовой множитель, рассматривают коэффициенты всех членов и выбирают их наибольший общий делитель. Он должен делить каждый коэффициент без остатка, иначе после деления не получится нужное разложение с целыми коэффициентами. Например, у чисел 12 и 8 наибольший общий делитель равен 4. Выбор наибольшего делителя обычно даёт более простые числа внутри скобок.
Общие буквенные множители — это переменные, которые встречаются в каждом члене. Их выносят в наименьших степенях, потому что именно такая степень гарантированно содержится во всех членах. Если один член содержит x³, а другой x², общая часть — x²: после деления во втором члене переменная исчезнет, а в первом останется x. Переменная, которой хотя бы в одном члене нет, общим множителем быть не может.
При разложении сначала определяют общий множитель, а затем делят на него каждый член многочлена. Полученные частные записывают в скобках, сохраняя порядок членов и их знаки. Например, если общий множитель равен 3, то члены 6x и 9 превращаются после деления в 2x и 3. В результате получается 3(2x + 3), и обратное умножение возвращает 6x + 9.
Можно вынести не только положительный множитель, но и отрицательный. Если вынести −1, знаки всех слагаемых в скобках изменятся: например, x − 4 = −(4 − x). Иногда отрицательный общий множитель выбирают, чтобы первый член в скобках был положительным и запись выглядела привычнее. После такого выбора обязательно учитывают изменение каждого знака, а не только первого.
Используйте таблицу как короткий порядок поиска: сначала проверьте коэффициенты, затем буквы и их степени. После этого поделите на найденный общий множитель каждый член и запишите частные в скобках. Последний столбец показывает, как выглядят эти шаги на примерах.
| Что ищем | Как определить | Пример |
|---|---|---|
| Общий числовой множитель | Наибольший общий делитель коэффициентов всех членов | Для 6 и 9 это 3 |
| Общие буквенные множители | Переменные, которые есть в каждом члене | В 12a²b и 8ab² общие буквы — a и b |
| Множитель в наименьшей степени | Берём наименьшую степень каждой общей переменной | Для a² и a выносим a; для b и b² выносим b |
| Выражение в скобках после деления каждого члена | Делим каждый член на вынесенный множитель | 12a²b − 8ab² = 4ab(3a − 2b) |
Разложите на множители 6x + 9. Сначала ищем общий множитель: буквы есть не во всех членах, поэтому рассматриваем коэффициенты 6 и 9. Их наибольший общий делитель равен 3. Делим оба члена на 3 и записываем полученные частные в скобках.
Ответ: 3(2x + 3). Проверка: 3 · 2x + 3 · 3 = 6x + 9, значит, исходное выражение восстановилось.
Разложите на множители 12a²b − 8ab². Общий числовой множитель коэффициентов 12 и 8 равен 4. Обе переменные есть в каждом члене, но степени у них различаются, поэтому для a и b выбираем наименьшие общие степени. Получается общий множитель 4ab.
Ответ: 4ab(3a − 2b). При раскрытии скобок получаем 12a²b − 8ab², поэтому коэффициенты, степени и знак записаны верно.
Разложите на множители −15x³y + 10x²y² − 5x²y. Общий числовой множитель коэффициентов — 5, а общая буквенная часть — x²y. Можно вынести 5x²y, но тогда первый член в скобках будет отрицательным. Для более удобной записи вынесем −5x²y: из-за минуса знаки всех частных внутри скобок изменятся.
Ответ: −5x²y(3x − 2y + 1). Проверка раскрытием скобок возвращает −15x³y + 10x²y² − 5x²y, включая исходные знаки.
Иногда выносят число, которое не делит коэффициенты всех членов. Так может случиться, если ориентироваться только на первый коэффициент. Проверьте делимость каждого числа: например, 4 нельзя вынести из 6x + 8, потому что 6 на 4 не делится. В таком случае выбирайте общий делитель, например 2.
Другая ошибка — вынести переменную в большей степени, чем она встречается в одном из членов. Это происходит, когда смотрят только на член с наибольшей степенью. Из x³ и x² можно вынести x², но не x³: второй член не содержит x³ как множитель. Перед записью сравните степени переменной во всех членах и выберите наименьшую.
При делении на общий множитель можно неверно посчитать коэффициент или степень буквы. Часто ошибку допускают, выполняя деление сразу для всего выражения, а не проверяя слагаемые отдельно. Разделите каждый член на вынесенный множитель по отдельности, например проверьте числа, а затем сократите степени одинаковых переменных. После этого можно умножить полученные частные обратно.
При вынесении отрицательного множителя иногда оставляют прежние знаки в скобках. Причина в том, что минус учитывают только перед скобками и забывают изменить знаки частных. Если вынесен −1 или отрицательное число, разделите на него каждый член отдельно. Раскрытие скобок сразу покажет, вернулись ли исходные знаки.
Для вынесения общего множителя нужны распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания и умение делить одночлены. Деление помогает правильно находить частные: отдельно делить коэффициенты и сокращать степени одинаковых переменных. Поэтому эти знания стоит освежить перед разложением многочлена.
Вынесение общего множителя — один из способов разложения многочленов на множители, то есть записи выражения как произведения. Такой вид часто упрощает алгебраические выражения и помогает заметить общую часть нескольких слагаемых. Позже этот приём можно сочетать с другими способами разложения.
Как понять, какой множитель можно вынести за скобки?
Найдите множитель, который входит в каждый член выражения: он должен делить все числовые коэффициенты и содержать только общие переменные. Для переменных выбирайте наименьшую степень, встречающуюся во всех членах. Затем разделите каждый член на этот множитель.
Почему буквенную переменную выносят в наименьшей степени?
Вынести можно только ту степень переменной, которая есть в каждом члене. Наименьшая общая степень гарантирует, что при делении ни в одном члене не останется отрицательной степени. Например, из x³ и x² можно вынести x².
Можно ли вынести отрицательный общий множитель?
Да, отрицательный множитель можно вынести так же, как положительный. При этом знаки всех членов внутри скобок изменятся на противоположные. Раскрытие скобок подтвердит правильность записи.
Как проверить, правильно ли выполнено разложение?
Раскройте скобки, умножив вынесенный множитель на каждое слагаемое внутри них. Если получилась исходная сумма или разность, разложение выполнено правильно. Особенно внимательно проверьте знаки и степени переменных.
Что делать, если у членов многочлена нет общего буквенного множителя?
Вынесите общий числовой множитель, если он есть. Если нет общих числовых или буквенных множителей, можно вынести только 1, но такая запись обычно не меняет выражение и не упрощает его.
§ 19. Вынесение общего множителя за скобки
