"Алгебра", Мордкович А.Г.
Способ группировки помогает разложить многочлен на множители, когда общий множитель нельзя сразу вынести из всех слагаемых. Слагаемые объединяют в группы, выносят общий множитель в каждой и стараются получить одинаковую скобку. Затем эту скобку выносят ещё раз — уже как общий множитель для групп. Главная задача состоит в том, чтобы правильно подобрать группы и внимательно следить за знаками.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Способ группировки — это разложение многочлена на множители через объединение его слагаемых в группы, в каждой из которых можно вынести общий множитель. Иначе говоря, части выражения сначала упрощают по отдельности, а потом объединяют результат. Этот способ нужен, когда у всех слагаемых сразу нет одного общего множителя.
Группировка слагаемых — распределение слагаемых многочлена по группам так, чтобы после вынесения общих множителей появились одинаковые скобки. Слагаемые можно собирать не только в том порядке, в котором они записаны: подходящие пары иногда находятся после перестановки. От выбора групп зависит, удастся ли выполнить следующий шаг.
Общий множитель группы — выражение, которое выносят за скобки из всех слагаемых одной группы. Например, в группе 3x + 6 общий множитель равен 3, поэтому 3x + 6 = 3(x + 2). Его ищут среди числовых множителей и букв, входящих во все слагаемые группы.
Общий двучлен — одинаковая скобка, которая появляется после вынесения множителей из нескольких групп и затем сама выносится за скобки. Например, из a(x + y) + b(x + y) можно вынести скобку (x + y). Так несколько сгруппированных частей превращаются в произведение двух множителей.
Группировка помогает потому, что отдельные слагаемые могут не иметь общего множителя, а внутри небольших групп такой множитель часто находится. Вынеся его, мы заменяем сумму слагаемых произведением числа или выражения на скобку. Если в нескольких группах скобки совпали, у получившихся слагаемых появляется общий множитель. Его можно вынести ещё раз и получить разложение всего многочлена.
Группы подбирают не наугад: сначала ищут пары или наборы с удобными общими множителями. Затем проверяют, какие скобки останутся после выноса. Например, в выражении ax + ay + bx + by удобно объединить ax с ay, а bx с by: после вынесения a и b в обеих группах появляется скобка (x + y). Значит, её можно будет вынести на следующем шаге.
Завершить разложение можно только тогда, когда одинаковая скобка найдена в выражениях, полученных из всех групп. Эту скобку рассматривают как общий множитель так же, как число или букву. Например, если получилось a(x + y) + b(x + y), то за скобками остаются a и b, а общий двучлен выносится один раз. В результате возникает произведение (a + b)(x + y).
Порядок слагаемых разрешается менять, потому что при сложении от перестановки слагаемых сумма не меняется. Также можно по-разному расставить скобки в сумме: сочетательное свойство позволяет объединить сначала удобные части. Эти свойства дают возможность поставить рядом слагаемые с общими множителями. Само выражение при этом остаётся равным исходному.
Если после выноса множителей скобки не совпали, это не означает, что группировка невозможна. Сначала нужно проверить вычисления и знаки: иногда одинаковые скобки выглядят по-разному только из-за вынесенного минуса. Если ошибки нет, попробуй переставить слагаемые или составить другие группы. Цель проверки — найти такое распределение, после которого во всех нужных группах появится один и тот же двучлен.
| Этап | Что сделать | Что должно получиться |
|---|---|---|
| Перегруппировать слагаемые | Объединить слагаемые в удобные группы | В каждой группе можно найти общий множитель |
| Вынести общий множитель в каждой группе | Вынести за скобки выражение, общее для слагаемых группы | Получаются произведения множителя на скобку |
| Найти одинаковый двучлен в полученных выражениях | Сравнить скобки после вынесения множителей | Одна и та же скобка встречается в нескольких слагаемых |
| Вынести одинаковый двучлен за скобки | Рассмотреть общую скобку как множитель | Многочлен записан в виде произведения |
| Проверить разложение раскрытием скобок | Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые | Получается исходный многочлен |
Пользуйся таблицей как последовательностью действий: не переходи к выносу общей скобки, пока не убедился, что скобки действительно одинаковые. Если одинакового двучлена нет, вернись к выбору групп и проверь знаки. В конце раскрой скобки, чтобы убедиться, что разложение совпадает с исходным выражением.
Условие. Разложите на множители ax + ay + bx + by. Нужно подобрать пары слагаемых так, чтобы у каждой пары нашёлся общий множитель. После этого сравним скобки, которые останутся внутри групп. Если они совпадут, можно будет выполнить последний шаг группировки.
Ответ: (a + b)(x + y). Здесь полезно заметить, что совпадение скобок возникло благодаря выбранным парам. Если бы слагаемые собрали иначе, одинаковый двучлен мог бы не появиться сразу.
Условие. Разложите на множители 3x² − 6x + 2xy − 4y. Подберём группы, в которых удобно вынести множители: в первых двух слагаемых общий множитель 3x, а в последних двух — 2y. Проверим, даст ли такой выбор одинаковые скобки.
Ответ: (x − 2)(3x + 2y). Важно не смешивать члены с x и y до того, как найден подходящий общий множитель. Одинаковая скобка показывает, что группировка выбрана удачно.
Условие. Разложите на множители x³ − 2x² − 9x + 18. Сначала объединим слагаемые так, чтобы в первой паре выносилась степень x, а во второй — число. Затем проверим, совпадут ли скобки, и продолжим разложение, если полученное выражение это позволяет.
Ответ: (x − 2)(x − 3)(x + 3). При вынесении −9 знаки внутри скобок меняются, поэтому эту часть решения нужно проверить особенно внимательно. Группировка даёт первый шаг разложения, а затем полученный множитель можно разложить дальше.
Слагаемые иногда объединяют в группы, не проверяя, какие скобки останутся после вынесения множителей. Тогда общая скобка не появляется, и завершить группировку не удаётся. Так происходит, если выбирать группы только по внешнему сходству слагаемых. После каждого выноса сравнивай скобки; если они различаются, проверь другой порядок или состав групп.
При вынесении отрицательного множителя часто неверно меняют знаки внутри скобок. Например, −9x + 18 при выносе −9 превращается в −9(x − 2), а не в −9(x + 2). Ошибку допускают, забывая, что минус умножает каждый член скобки. Проверь результат обратным раскрытием скобок.
Ещё одна ошибка — остановиться после вынесения множителей из отдельных групп. Это промежуточный шаг: если получились одинаковые скобки, их нужно вынести как общий двучлен. Иначе исходная сумма останется суммой произведений, а не будет полностью записана в виде произведения множителей. Перед завершением решения проверь, использована ли общая скобка.
При проверке можно раскрыть скобки не полностью или неверно сложить подобные слагаемые. Тогда верное разложение покажется ошибочным или, наоборот, ошибка останется незамеченной. Раскрывай каждый множитель по порядку и сравнивай все члены с исходным многочленом. Особенно внимательно следи за знаками и степенями переменных.
Для группировки нужно уметь применять распределительное свойство умножения относительно сложения: именно оно позволяет выносить общий множитель за скобки. Поэтому перед началом полезно научиться находить общий множитель и правильно раскрывать скобки. Обратное действие — разложение на множители — пригодится при решении уравнений: произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Также разложение помогает сокращать алгебраические дроби, когда в числителе и знаменателе есть общий множитель.
Как понять, какие слагаемые нужно объединить в группы?
Ищи слагаемые, у которых есть общий множитель, например одинаковая переменная или число. Группы нужно составить так, чтобы после вынесения множителей в них получились одинаковые скобки. Если этого не произошло, попробуй изменить порядок слагаемых или состав групп.
Что делать, если после вынесения множителей скобки не совпадают?
Сначала проверь, правильно ли вынесен общий множитель, особенно если он отрицательный. Затем проверь знаки в скобках и попробуй иначе расположить слагаемые или объединить их в другие группы.
Можно ли менять порядок слагаемых перед группировкой?
Да, порядок слагаемых можно менять по переместительному свойству сложения. Это помогает поставить рядом слагаемые, которые удобно объединить. Значение многочлена при перестановке слагаемых не меняется.
Почему при вынесении минуса меняются знаки в скобках?
Минус перед скобкой означает, что каждый член внутри скобки умножается на −1. Поэтому при вынесении отрицательного множителя знаки всех членов в скобке меняются на противоположные. Проверить себя можно, раскрыв скобки обратно.
Как проверить, что разложение способом группировки выполнено верно?
Раскрой скобки в полученном произведении и приведи подобные слагаемые. Если получилось исходное выражение, разложение верно. При проверке не пропускай ни один член произведения.
§ 32. Способ группировки
