"Алгебра", Мордкович А.Г.
Разложить многочлен на множители — значит заменить его произведением выражений, которое ему равно. Для этого узнают в многочлене знакомые формулы: разность квадратов или квадрат суммы и разности. Такой способ помогает упростить выражения, решать уравнения и сокращать алгебраические дроби. Чтобы выбрать формулу, нужно проверить не только крайние члены, но и знак и величину среднего члена, а результат — проверить раскрытием скобок.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Разложение многочлена на множители — представление его в виде произведения многочленов. Например, запись x² − 9 = (x − 3)(x + 3) показывает, что многочлен заменён произведением двух выражений. Такой вид удобен, когда нужно упростить выражение или найти его значение при определённых переменных. Чтобы не ошибиться, полезно уметь переходить от произведения обратно к многочлену.
Формула разности квадратов: a² − b² = (a − b)(a + b). Она подходит, если выражение состоит из двух квадратов, соединённых знаком минус: например, x² − 25 = x² − 5². При распознавании важно найти именно квадраты обоих слагаемых, поскольку тогда можно заменить разность произведением разности и суммы. Сумма квадратов такой формулой не раскладывается.
Формула квадрата суммы: a² + 2ab + b² = (a + b)². В трёхчлене крайние слагаемые должны быть квадратами, а среднее — удвоенным произведением их корней. Это условие нужно, чтобы три слагаемых точно получились при раскрытии скобок у квадрата суммы. Если средний член отличается, перед нами не эта формула.
Формула квадрата разности: a² − 2ab + b² = (a − b)². Здесь крайние слагаемые также являются квадратами, но среднее слагаемое отрицательное и равно удвоенному произведению корней крайних. Его знак показывает, что между слагаемыми в скобках будет минус. Проверка среднего члена помогает отличить квадрат разности от квадрата суммы.
Разложение проверяют обратным действием: раскрывают скобки и сравнивают полученное выражение с исходным многочленом. Это работает потому, что раскрытие скобок отменяет замену произведения суммой слагаемых. Например, если при проверке появился другой знак или коэффициент, значит, при разложении была допущена ошибка. Сравнивать нужно все слагаемые, а не только первые и последние.
В разности квадратов сначала представь оба слагаемых в виде квадратов: x² − 36 можно записать как x² − 6². Затем используй формулу a² − b² = (a − b)(a + b), подставив вместо a и b корни квадратов. Формула устроена так, что при обратном раскрытии скобок средние слагаемые взаимно уничтожаются: остаётся разность квадратов. Поэтому она не подходит для суммы квадратов.
Чтобы распознать полный квадрат, сначала выдели квадраты первого и последнего слагаемых. Затем найди их корни и проверь средний член: он должен равняться удвоенному произведению этих корней. Такое условие появляется при раскрытии квадрата двучлена: произведение крайних частей возникает дважды. Если знак среднего члена положительный, подходит квадрат суммы, а если отрицательный — квадрат разности.
В формулах вместо a и b можно подставлять не только числа или отдельные буквы, но и целые многочлены. Это возможно потому, что формула верна для любых выражений, которые играют роль её частей. Например, в разности квадратов вместо a может стоять 2x, а вместо b — 3y; тогда выражение раскладывается по той же схеме. При подстановке многочлена сохраняй его в скобках, чтобы не потерять знаки.
Если подходящая формула сразу не видна, сначала приведи подобные слагаемые — сложи члены с одинаковой буквенной частью. Затем проверь, можно ли вынести общий множитель: иногда без этого формула скрыта. Например, общий множитель может превратить выражение в разность квадратов или полный квадрат. Такой порядок помогает не применять формулу к неподходящим частям многочлена.
| Вид многочлена | Условие распознавания | Разложение на множители |
|---|---|---|
| Разность квадратов | Два квадрата соединены знаком минус: a² − b² | (a − b)(a + b) |
| Квадрат суммы | Крайние члены — квадраты, средний равен 2ab и положителен | (a + b)² |
| Квадрат разности | Крайние члены — квадраты, средний равен −2ab | (a − b)² |
Сначала сопоставь многочлен с условием в среднем столбце: это поможет выбрать подходящую строку. Для полного квадрата обязательно проверь средний член, а не только крайние слагаемые. После применения формулы раскрой скобки, чтобы убедиться в правильности результата.
Ответ: (x − 7)(x + 7).
Ответ: (3a + 2)².
Ответ: (2x − 5y − √3z)(2x − 5y + √3z).
Первая ошибка — применять разность квадратов к сумме квадратов. Так делают, потому что оба выражения выглядят похоже, но формула a² − b² требует знак минус: при плюсе средние члены не уничтожатся. Проверь знак между слагаемыми и раскрой предполагаемые скобки. Над рациональными числами a² + b² не раскладывается по формуле (a − b)(a + b).
Вторая ошибка — считать трёхчлен полным квадратом только потому, что первый и последний члены являются квадратами. Среднее слагаемое может не совпасть с удвоенным произведением корней, поэтому формула тогда не сработает. Найди корни крайних членов и выполни проверку произведения. Раскрытие найденного квадрата покажет, совпадает ли средний член.
Третья ошибка — потерять знак среднего члена и выбрать неверный знак в скобках. Например, отрицательное среднее слагаемое соответствует квадрату разности, а положительное — квадрату суммы. Перед записью ответа отдельно сравни знак среднего члена с формулами. Затем раскрой скобки и проверь, что знак при среднем слагаемом восстановился верно.
Четвёртая ошибка — остановиться, хотя разложение можно продолжить. Это происходит, если после применения формулы не проверить общий множитель или полученные множители на новые формулы. После каждого шага осмотри все множители по отдельности. Раскладка закончена, когда изученными способами дальше разложить их нельзя.
Для этой темы нужно уметь возводить двучлен в квадрат и раскрывать скобки по формулам сокращённого умножения: при разложении эти действия выполняются в обратном порядке. Если забыть, откуда берётся удвоенный средний член, трудно распознать полный квадрат. Разложение многочленов пригодится при решении уравнений, сокращении алгебраических дробей и преобразовании выражений. Оно помогает заменить сложную запись произведением более простых множителей.
Как понять, что многочлен является разностью квадратов?
У многочлена должны быть два слагаемых, между которыми стоит знак минус, и каждое слагаемое должно быть квадратом. Например, x² − 49 — это x² − 7². Тогда выражение раскладывается как произведение разности и суммы этих квадратов.
Как проверить, что трёхчлен — квадрат двучлена?
Проверьте, являются ли первый и последний члены квадратами. Затем найдите их корни и удвойте произведение: оно должно совпасть со средним членом с учётом знака. Если средний член положительный, получается квадрат суммы, если отрицательный — квадрат разности.
Почему для полного квадрата средний член должен быть удвоенным произведением корней крайних членов?
При возведении двучлена в квадрат каждый из двух членов появляется дважды в произведении. Поэтому в раскрытой записи возникает удвоенное произведение: (a + b)² = a² + 2ab + b². Для разности знак этого среднего члена будет отрицательным.
Можно ли применять формулы, если вместо a и b стоят многочлены?
Да, вместо букв a и b могут стоять любые выражения, в том числе многочлены. Нужно только подставить их в формулу целиком и сохранить скобки. Например, разность квадратов выражений A и B раскладывается как (A − B)(A + B).
Как проверить, что разложение на множители выполнено правильно?
Раскройте скобки в полученном произведении и приведите подобные слагаемые. Если вышел исходный многочлен, разложение верное. Затем проверьте, можно ли ещё разложить общий множитель или один из множителей изученными способами.
§ 33. Разложение многочленов на множители с помощью формул сокращенного умножения
