"Алгебра (в 2 частях)", Мордкович А.Г (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Формулы сокращённого умножения помогают представить многочлен в виде произведения и тем самым упростить выражение. Для разложения особенно важны разность квадратов и формулы квадрата суммы и разности. Нужно узнать знакомый вид: проверить, являются ли крайние слагаемые квадратами, а среднее — удвоенным произведением их корней. Перед применением формулы стоит вынести общий множитель, если он есть.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Формулы сокращённого умножения — тождества, позволяющие заменять выражение равным ему произведением или многочленом. Тождество — равенство, верное при любых допустимых значениях переменных. При разложении формулу используют в обратном направлении: узнают многочлен и записывают соответствующее произведение.
Разложение многочлена на множители — представление многочлена в виде произведения нескольких многочленов. Например, вместо одного выражения можно получить две скобки, соединённые умножением. Такая запись нужна, чтобы упрощать выражения и решать уравнения.
Разность квадратов — выражение вида a² − b², которое раскладывается на произведение суммы и разности оснований: (a − b)(a + b). Основания здесь — выражения, квадраты которых стоят в исходной записи. Это правило помогает быстро разложить двучлен, если его части являются квадратами.
Полный квадрат двучлена — выражение вида a² + 2ab + b² или a² − 2ab + b², равное квадрату суммы или разности. Двучлен — выражение из двух слагаемых, например a + b. Распознав полный квадрат, можно заменить трёхчлен одной скобкой в квадрате.
Квадрат суммы получают, умножая двучлен на самого себя: (a + b)(a + b). При раскрытии скобок выходят слагаемые a², ab, ab и b², а два одинаковых слагаемых ab дают 2ab. Поэтому (a + b)² = a² + 2ab + b²; при разложении справа налево эти три слагаемых превращаются в квадрат двучлена.
Квадрат разности устроен похоже: (a − b)(a − b). При умножении появляются a², −ab, −ab и b², поэтому средним слагаемым становится −2ab. Получается равенство (a − b)² = a² − 2ab + b². В обратную сторону оно применимо, если все три части трёхчлена совпадают с этой формой.
Разность квадратов получается при умножении (a − b)(a + b): слагаемые ab и −ab взаимно уничтожаются, остаются a² и −b². Значит, a² − b² = (a − b)(a + b). Для a² + b² этот вывод не работает: знак между квадратами другой, и при раскрытии предложенных скобок получится разность, а не сумма.
Чтобы узнать полный квадрат, сначала проверь крайние слагаемые: из них должны извлекаться корни a и b. Затем умножь эти корни и удвой результат. Если среднее слагаемое равно 2ab, подходит квадрат суммы; если оно равно −2ab — квадрат разности. Одной проверки крайних слагаемых недостаточно: например, среднее слагаемое может не совпасть с нужным удвоенным произведением.
Разность квадратов распознают, представляя каждое из двух слагаемых квадратом, а затем проверяя знак минус между ними. При разложении полезно соблюдать порядок: сначала вынести общий множитель, то есть общий числовой или буквенный множитель всех слагаемых. После этого проверь оставшийся многочлен по формулам и, если один из множителей тоже можно разложить, продолжи работу. Такой порядок помогает не пропустить следующий шаг.
| Вид выражения | Как распознать | Разложение на множители |
|---|---|---|
| a² − b² | Разность двух квадратов | (a − b)(a + b) |
| a² + 2ab + b² | Крайние слагаемые — квадраты, среднее равно удвоенному произведению их корней | (a + b)² |
| a² − 2ab + b² | Крайние слагаемые — квадраты, среднее равно удвоенному произведению корней со знаком минус | (a − b)² |
Сначала найди в выражении знакомые части и сопоставь их с первым столбцом. Для полного квадрата обязательно проверь и крайние, и среднее слагаемые. Затем запиши соответствующее разложение из последнего столбца.
В выражении два слагаемых, и между ними стоит минус. Заметим, что x² — квадрат x, а 25 — квадрат числа 5. Значит, здесь подходит формула разности квадратов, где a = x, b = 5.
Ответ: (x − 5)(x + 5).
Это трёхчлен, поэтому проверим, не является ли он квадратом двучлена. Первое слагаемое 9a² — квадрат 3a, последнее 4b² — квадрат 2b. Теперь нужно проверить, равно ли среднее слагаемое удвоенному произведению этих корней.
Ответ: (3a + 2b)².
У слагаемых есть общий множитель: число 3 и переменная x. Если сначала вынести его, в скобках останется двучлен, который может оказаться разностью квадратов. Поэтому проверим не только исходную запись, но и выражение после вынесения общего множителя.
Ответ: 3x(x − 2)(x + 2).
Разность квадратов путают с суммой квадратов и применяют к выражению a² + b². Такая ошибка возникает, если заметить квадраты, но не проверить знак между ними. Сверь выражение с формулой: в ней обязательно стоит минус, а при раскрытии скобок средние слагаемые сокращаются.
Трёхчлен иногда называют полным квадратом только потому, что первое и последнее слагаемые являются квадратами. Но среднее слагаемое тоже должно совпасть с удвоенным произведением корней крайних частей. Вычисли 2ab и сравни с серединой трёхчлена, включая знак.
При разложении a² − b² могут записать два множителя-разности: (a − b)(a − b). Это неверно, потому что перемножение таких скобок даст среднее слагаемое −2ab. Проверка по формуле показывает правильный порядок знаков: (a − b)(a + b).
После вынесения общего множителя иногда сразу останавливаются. Это происходит, когда первый полученный шаг принимают за завершённое разложение. Проверь выражение в скобках: если оно подходит под одну из формул, разложи его тоже, а затем при необходимости проверь результат умножением.
Перед разложением полезно уметь раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, выносить общий множитель и возводить двучлен в квадрат. Эти действия позволяют как распознать формулу, так и проверить полученный ответ. Например, раскрытие скобок покажет, совпадает ли произведение с исходным многочленом.
Разложение на множители применяется при сокращении алгебраических дробей, решении уравнений и упрощении выражений. Если многочлен записан произведением, легче заметить общие части и использовать свойства произведения. Поэтому формулы сокращённого умножения нужны не только для преобразования отдельных выражений.
Как быстро понять, что трёхчлен является полным квадратом?
Проверь, можно ли представить первое и последнее слагаемые квадратами: a² и b². Затем сравни среднее слагаемое с 2ab или −2ab. Если совпало, трёхчлен равен (a + b)² или (a − b)².
Почему a² + b² нельзя разложить так же, как a² − b²?
Формула разности квадратов следует из раскрытия скобок: (a − b)(a + b) = a² − b². При умножении скобок со знаком «плюс» между a² и b² получается именно разность. Поэтому для суммы квадратов эта формула не подходит.
Как определить знаки в множителях при разложении разности квадратов?
В разности квадратов первый множитель содержит разность, а второй — сумму: a² − b² = (a − b)(a + b). Такой выбор знаков приводит к сокращению средних слагаемых при проверке умножением.
Нужно ли сначала выносить общий множитель?
Да, если общий множитель есть, сначала вынеси его за скобки. Тогда оставшаяся часть может оказаться разностью квадратов или полным квадратом. Так проще увидеть все возможности разложения.
Как проверить, полностью ли разложен многочлен на множители?
Проверь, нельзя ли вынести общий множитель из полученных частей и подходит ли какой-либо множитель под формулу сокращённого умножения. Затем при необходимости раскрой скобки: результат должен совпасть с исходным многочленом. Если дальнейшее разложение невозможно с помощью изученных формул, работа закончена.
§ 39. Разложение многочленов на множители с помощью формул сокращённого умножения
