§ 30. Разложение многочленов на множители с помощью формул сокращенного умножения

Определения и обозначения

Разложение многочлена на множители — представление его в виде произведения выражений, равного исходному многочлену. Например, вместо суммы можно получить несколько скобок, соединённых умножением. Такая запись помогает упростить выражение или решить уравнение.

Разность квадратов — выражение вида a² − b², которое представляется произведением (a − b)(a + b). Здесь a и b — основания квадратов: a² и b². Это определение подсказывает, какую формулу использовать, если в многочлене два квадрата со знаком минус между ними.

Полный квадрат трёхчлена — выражение вида a² + 2ab + b² или a² − 2ab + b², равное соответственно (a + b)² или (a − b)². Его можно узнать по крайним квадратам и особому среднему слагаемому. Это позволяет заменить три слагаемых одним квадратом двучлена.

Формулы сокращённого умножения — тождества, позволяющие заменить выражение на равное ему, в том числе представить многочлен произведением. Тождество сохраняет равенство при любых допустимых значениях букв. Поэтому формулу можно применять и от скобок к многочлену, и в обратную сторону.

Как это устроено

Формулы сокращённого умножения можно применять в обратном направлении, потому что равенство не зависит от того, с какой стороны записана каждая его часть. Например, если (a − b)(a + b) = a² − b², то и a² − b² равно этому произведению. При раскрытии скобок мы получаем многочлен, а при разложении ищем скобки, из которых он мог получиться. Значит, задача состоит в распознавании знакомой структуры.

Чтобы распознать разность квадратов, сначала проверь знак: между слагаемыми должен стоять минус. Затем убедись, что каждое слагаемое можно представить квадратом, например 49 = 7². После этого основания квадратов записывают в две скобки: в одной берут их разность, в другой — сумму. Так получается (a − b)(a + b), а не квадрат одной скобки.

Для полного квадрата проверь все три слагаемых, а не только крайние. Крайние должны быть квадратами, например a² и b², а средний член должен равняться 2ab или −2ab. Знак среднего члена определяет знак между основаниями внутри скобки: плюс соответствует (a + b)², минус — (a − b)². Такая проверка нужна, потому что похожих на полный квадрат выражений много, но формула верна лишь при точном совпадении среднего члена.

Перед применением формулы полезно найти общий множитель, то есть число или букву, на которые делятся все слагаемые. После вынесения этого множителя многочлен внутри скобок может стать разностью квадратов или полным квадратом. Например, общий множитель иногда скрывает нужную формулу, пока выражение не приведено к более простому виду. Поэтому сначала проверь каждый член, а затем ищи знакомый шаблон в скобках.

Проверка раскрытием скобок работает потому, что она возвращает нас от произведения к многочлену. Умножь каждое слагаемое одной скобки на каждое слагаемое другой и приведи подобные слагаемые. Если получилось исходное выражение, разложение верно; если нет — ищи ошибку в знаке или вычислении. При нескольких множителях раскрывай скобки последовательно.

Формулы сокращённого умножения при разложении на множители

Сначала сравни выражение с первым столбцом и проверь условие во втором. Если все признаки совпали, используй соответствующую запись из третьего столбца. Не выбирай формулу только по виду крайних слагаемых: знак и величина среднего члена тоже важны.

Разбор задач

Задача. Разложить на множители x² − 49.

1. Смотрим на строение выражения: оно состоит из двух слагаемых, между которыми стоит минус. Первое слагаемое x² — квадрат переменной x. Число 49 тоже является квадратом, потому что 49 = 7².
2. Значит, перед нами разность квадратов x² − 7². Используем формулу a² − b² = (a − b)(a + b), где вместо a стоит x, а вместо b — 7. Получаем (x − 7)(x + 7).
3. Проверим результат раскрытием скобок: x умножается на оба слагаемых второй скобки, а −7 — также на оба. Средние слагаемые −7x и 7x сокращаются, остаётся x² − 49. Это исходный многочлен.

Ответ: (x − 7)(x + 7).

Задача. Разложить на множители 9a² + 12a + 4.

1. Проверяем крайние слагаемые: 9a² = (3a)², а 4 = 2². Значит, если это полный квадрат, основаниями будут 3a и 2. Теперь проверяем середину, а не делаем вывод только по краям.
2. Удвоенное произведение оснований равно 2 · 3a · 2 = 12a. Это совпадает со средним членом, и он положительный. Поэтому используем формулу a² + 2ab + b² = (a + b)² и получаем (3a + 2)².
3. Для проверки раскроем квадрат суммы: (3a)² + 2 · 3a · 2 + 2² = 9a² + 12a + 4. Результат совпал с исходным трёхчленом. Значит, распознавание полного квадрата выполнено правильно.

Ответ: (3a + 2)².

Задача. Разложить на множители 3x² − 27.

1. Замечаем, что оба слагаемых делятся на 3, поэтому сначала выносим общий множитель: 3x² − 27 = 3(x² − 9). Это ещё не окончательный ответ, потому что выражение в скобках тоже может разлагаться.
2. В скобках записана разность квадратов: x² − 9 = x² − 3². По формуле разности квадратов получаем (x − 3)(x + 3). Теперь всё выражение имеет вид 3(x − 3)(x + 3).
3. Проверим: (x − 3)(x + 3) = x² − 9, а умножение на 3 даёт 3x² − 27. Внутри скобок дальше подходящей формулы нет, поэтому на этом разложение заканчиваем.

Ответ: 3(x − 3)(x + 3).

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать a² + b² разностью квадратов и раскладывать по формуле a² − b². Её допускают, если смотрят только на два квадрата и не замечают знак между ними. Проверь знак: для формулы нужен минус. Раскрой предложенные скобки — сумма квадратов в результате не должна превратиться в разность.

Вторая ошибка — записывать a² − b² как (a − b)². Квадрат разности раскрывается в a² − 2ab + b², поэтому в нём обязательно есть среднее слагаемое. При разности квадратов правильная запись — (a − b)(a + b). Для самопроверки раскрой скобки и сравни полученный результат с исходным выражением.

Третья ошибка — объявлять трёхчлен полным квадратом, проверив только крайние слагаемые. Ученик может заметить два квадрата и не проверить, равен ли средний член именно ±2ab. Найди основания крайних квадратов, вычисли удвоенное произведение и сравни его со средним членом. Если значение или знак не совпали, формулу полного квадрата применять нельзя.

Четвёртая ошибка — остановиться после вынесения общего множителя. Например, запись 3(x² − 9) ещё можно продолжить, потому что в скобках осталась разность квадратов. После вынесения множителя снова проверь полученный многочлен на знакомые формулы. В конце раскрой скобки, чтобы удостовериться, что итог соответствует исходному выражению.

Связь с другими темами

Перед разложением многочленов нужно уметь возводить двучлен в квадрат, раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые. Эти навыки помогают распознавать формулы: например, увидеть, откуда берётся средний член 2ab, и проверить готовое произведение. Если вычисления с квадратами или знаками пока вызывают трудности, стоит повторить эти действия.

Разложение на множители пригодится при решении уравнений: произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю. Оно также помогает упрощать алгебраические дроби и преобразовывать выражения. Поэтому умение находить общий множитель и узнавать формулы сокращённого умножения используется в разных темах алгебры.

Что запомнить

• Разложение на множители — обратное действие к раскрытию скобок.
• Разность квадратов раскладывается как произведение разности и суммы оснований.
• Сумма квадратов a² + b² по этой формуле на множители не раскладывается.
• Полный квадрат трёхчлена распознают по крайним квадратам и среднему члену ±2ab.
• Перед применением формулы проверь, нельзя ли сначала вынести общий множитель.
• Правильность разложения можно проверить раскрытием скобок.