§ 30. Разложение многочленов на множители с помощью формул сокращенного умножения

Определения и обозначения

Разложение многочлена на множители — представление многочлена в виде произведения выражений. Например, 6x + 12 = 6(x + 2). Такая запись помогает увидеть общие части и выполнять дальнейшие преобразования быстрее.

Разность квадратов — двучлен вида a² − b², который представляется как произведение (a − b)(a + b). Название показывает, что из одного квадрата вычитается другой. Узнавание этой формы позволяет заменить вычитание удобным произведением.

Полный квадрат трёхчлена — выражение вида a² + 2ab + b² или a² − 2ab + b², полученное возведением двучлена в квадрат. В нём крайние слагаемые являются квадратами, а среднее связывает их корни. Это помогает свернуть трёхчлен в одну скобку, возведённую в квадрат.

Формула сокращённого умножения — равенство, позволяющее преобразовать выражение короче, чем при последовательном раскрытии скобок. Например, формула a² − b² = (a − b)(a + b) сразу даёт готовое разложение. Такие формулы экономят вычисления и уменьшают риск ошибки.

Как это устроено

При разложении многочлена сначала ищут знакомый образец среди его слагаемых. Например, два квадрата со знаком минус могут быть частями выражения a² − b², даже если вместо букв стоят числа или более сложные одночлены. Такой взгляд позволяет не раскрывать скобки наугад, а подобрать обратное действие к известной формуле умножения.

Трёхчлен a² + 2ab + b² является квадратом суммы, потому что (a + b)² означает произведение (a + b)(a + b). При раскрытии скобок появляются a², два одинаковых произведения ab и b², поэтому средняя часть равна 2ab. Если между слагаемыми в скобках стоит минус, произведения имеют отрицательный знак, и получается a² − 2ab + b² = (a − b)².

Разность квадратов раскладывается на сопряжённые множители, то есть на скобки с одинаковыми частями и разными знаками: (a − b)(a + b). При умножении первые слагаемые дают a², последние — −b², а два смешанных произведения равны по величине и имеют противоположные знаки. Поэтому они взаимно уничтожаются, и остаётся исходная разность квадратов.

Перед формулой полного квадрата проверьте крайние слагаемые: можно ли представить их как квадраты, а затем сравните средний член с удвоенным произведением корней. Для разности квадратов достаточно найти два квадрата и знак минус между ними. Если у всех слагаемых есть общий множитель, сначала вынесите его, иначе нужная формула может быть скрыта. После преобразования раскройте скобки: совпадение с исходным многочленом подтверждает правильность.

Формулы для разложения многочленов на множители

Сначала определите вид многочлена по крайним слагаемым и знаку среднего или второго квадрата. Затем подставьте вместо a и b подходящие выражения, не теряя знаки и коэффициенты. Если перед многочленом стоит общий множитель, вынесите его до использования таблицы.

Разбор задач

Задача 1. Разность квадратов

Условие: разложите на множители x² − 49. Здесь первое слагаемое уже является квадратом x², а число 49 можно представить как 7².

1. Распознаём разность квадратов: x² − 49 = x² − 7².
2. Применяем формулу a² − b² = (a − b)(a + b), где a = x, b = 7.
3. Получаем произведение (x − 7)(x + 7).

Ответ: x² − 49 = (x − 7)(x + 7).

Задача 2. Полный квадрат

Условие: разложите на множители 9a² + 12a + 4. Крайние слагаемые равны (3a)² и 2², а средний член нужно сравнить с удвоенным произведением 3a и 2.

1. Проверяем средний член: 2 · 3a · 2 = 12a.
2. Все три части совпадают с формулой a² + 2ab + b², где a = 3a, b = 2.
3. Сворачиваем трёхчлен в квадрат суммы: (3a + 2)².

Ответ: 9a² + 12a + 4 = (3a + 2)².

Задача 3. Общий множитель и разность квадратов

Условие: разложите на множители 3x² − 27y². Сразу применить формулу нельзя в удобном виде, потому что у обоих слагаемых есть общий множитель 3.

1. Выносим 3 за скобки: 3x² − 27y² = 3(x² − 9y²).
2. Представляем 9y² как (3y)², поэтому внутри скобок получаем x² − (3y)².
3. Применяем формулу разности квадратов: 3(x − 3y)(x + 3y).

Ответ: 3x² − 27y² = 3(x − 3y)(x + 3y).

Типичные ошибки

Ошибка: считать a² + b² разностью квадратов и записывать (a − b)(a + b). Так делают из-за похожего вида формул, но при раскрытии скобок смешанные члены уничтожаются, и получается a² − b². Проверяйте знак между квадратами.

Ошибка: забывать множитель 2 в среднем члене полного квадрата. Ученик видит произведение корней крайних квадратов, но не учитывает, что оно возникает дважды. Сравните средний член с 2ab, а не только с ab.

Ошибка: неверно выбирать знак в квадрате двучлена. При плюсе в среднем члене должна быть скобка вида (a + b)², а при минусе — (a − b)². Быстрая проверка — мысленно раскрыть квадрат скобки.

Ошибка: не вынести общий множитель или потерять его после преобразования. Тогда новое выражение уже не равно исходному, даже если формула внутри скобок применена верно. Сначала найдите общий множитель, а в конце раскройте скобки для проверки.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны умения возводить двучлен в квадрат и раскрывать скобки с помощью распределительного свойства умножения. Именно раскрытие скобок объясняет появление всех членов формул.

Разложение опирается на понятия квадрата числа и одночлена, а также на умножение многочлена на многочлен. Знание этих действий помогает распознавать квадраты буквенных выражений и проверять результат.

Разложение на множители используется при решении уравнений и сокращении алгебраических дробей. Оно также упрощает преобразование выражений, потому что произведение часто удобнее исходной суммы.

Что запомнить

• Разность квадратов раскладывается по формуле a² − b² = (a − b)(a + b).
• Сумма квадратов a² + b² по этой формуле на множители не раскладывается.
• a² + 2ab + b² = (a + b)².
• a² − 2ab + b² = (a − b)².
• В полном квадрате средний член равен удвоенному произведению корней крайних квадратов.
• Общий множитель удобно выносить до применения формулы.
• Правильность разложения можно проверить раскрытием скобок.