"Алгебра", Мордкович А.Г.
Многочлен можно записать не только как сумму или разность одночленов, но и как произведение других выражений. Такая запись называется разложением на множители. Она помогает быстрее выполнять вычисления, решать уравнения и упрощать дроби. Чтобы получить произведение, часто выносят общий множитель за скобки или группируют слагаемые. Разложение сохраняет значение выражения: при раскрытии скобок получится исходный многочлен.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многочлен — это сумма одночленов, то есть выражений из чисел и переменных, соединённых сложением или вычитанием. Например, 3x² + 2x − 5 — многочлен из трёх слагаемых. Слагаемые иногда имеют общий множитель: в 6x + 9 таким множителем является 3. Его поиск помогает перейти от суммы к более удобной записи.
Разложение многочлена на множители — это представление многочлена в виде произведения нескольких выражений. Например, 6x + 9 можно записать как 3(2x + 3). Такая форма нужна, чтобы упростить вычисления или увидеть, как решить уравнение.
Множители многочлена — это выражения, произведение которых равно исходному многочлену. В записи 3(2x + 3) множителями являются 3 и 2x + 3. Если перемножить их, получится 6x + 9, поэтому проверка умножением помогает убедиться, что разложение выполнено верно.
Разложение на множители — тождественное преобразование: при допустимых значениях переменных значение выражения не меняется. Например, 3(2x + 3) и 6x + 9 равны при любом x. Это свойство позволяет заменять одну запись другой, выбирая ту, с которой удобнее работать.
Раскрытие скобок превращает произведение в многочлен: например, (x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6. При умножении каждый член первой скобки умножается на каждый член второй, а затем подобные слагаемые складываются. Разложение на множители идёт в обратном направлении: многочлен x² + 5x + 6 можно представить как (x + 2)(x + 3). Чтобы проверить результат, раскройте скобки и сравните полученный многочлен с исходным.
Общий множитель выносят за скобки потому, что каждое слагаемое можно представить как его произведение на оставшуюся часть. В выражении 6x + 9 общий множитель — 3: первое слагаемое равно 3 · 2x, второе — 3 · 3. Поэтому 6x + 9 = 3(2x + 3). Если раскрыть скобки, исходная сумма восстановится, а значит, преобразование верно.
Иногда произведение проще вычислить, чем сумму, особенно если один множитель удобен. Например, 25 · 17 + 25 · 3 можно переписать как 25(17 + 3) = 25 · 20 = 500. При вычислении исходной суммы пришлось бы выполнить два умножения и сложение, а общий множитель позволяет сначала сложить числа в скобках. Поэтому разложение помогает выбирать более короткий путь вычислений.
Разложение используют и при решении уравнений. Если произведение равно нулю, хотя бы один из множителей должен быть равен нулю: ненулевые числа при умножении не могут дать ноль. Например, x(x − 5) = 0 приводит к двум простым уравнениям: x = 0 или x − 5 = 0. Так из одного уравнения находят оба возможных корня.
В дробях разложение числителя и знаменателя помогает заметить общий множитель и сократить дробь. Например, (3x + 6)/(3x) = 3(x + 2)/(3x) = (x + 2)/x при x ≠ 0. Сокращение допустимо, потому что 3 — множитель всего числителя и всего знаменателя. Нельзя сокращать отдельные слагаемые: сначала нужно представить числитель и знаменатель произведениями и учесть, что знаменатель не должен равняться нулю.
| Что рассматриваем | До преобразования | После разложения | Зачем это нужно |
|---|---|---|---|
| Вид выражения | Сумма или разность одночленов | Произведение многочленов | Представить выражение в удобной форме |
| Вычисление | Сумма, которую нужно вычислять | Произведение, которое может быть проще вычислить | Упростить вычисления |
| Решение уравнения | Многочлен приравнен к нулю | Произведение множителей приравнено к нулю | Найти корни уравнения |
| Дробное выражение | Многочлены в числителе и знаменателе | Возможные общие множители | Упростить дробь, если соблюдены ограничения |
Читайте таблицу по строкам: сначала найдите, с каким выражением работаете, затем сравните его вид до и после разложения. Последний столбец подсказывает, какую задачу помогает решить новая запись. Для дробей всегда проверяйте ограничения на переменную, а для уравнений — действительно ли произведение равно нулю.
Ищем наибольший общий числовой множитель: он должен делить и 8, и 12. Общим множителем будет 4. Вынесем его за скобки, разделив на 4 каждое слагаемое.
Ответ: 4(2x + 3).
Общего множителя у всех четырёх слагаемых может не быть, поэтому попробуем объединить их попарно. Выберем группы так, чтобы после вынесения множителя в каждой появились одинаковые скобки. Это позволит вынести общий двучлен.
Ответ: (x + 2)(3x + 2).
В каждом слагаемом левой части есть x, поэтому начнём с вынесения этого общего множителя. Получится произведение, равное нулю. По свойству нулевого произведения достаточно приравнять к нулю каждый множитель по очереди.
Ответ: 0 и 5. Проверка показывает, что при каждом из этих значений левая часть исходного уравнения равна нулю.
Запись 6x + 9 = 3 без скобок не является разложением: число 3 не равно исходному выражению. Такую ошибку допускают, когда находят общий множитель, но забывают записать оставшиеся части слагаемых. Проверьте результат раскрытием скобок: должна получиться исходная сумма, поэтому правильная запись — 3(2x + 3).
Нельзя выносить множитель, который подходит только к части слагаемых, или неверно делить на него отдельные члены. Например, при вынесении 2 из 6x + 8 внутри скобок должны оказаться 3x и 4. Чтобы проверить себя, умножьте вынесенный множитель на каждое слагаемое в скобках: должны восстановиться все члены исходного многочлена.
Свойство нулевого произведения нельзя применять, если произведение не приравнено к нулю. Например, из ab = 12 не следует, что a = 0 или b = 0. Эту ошибку допускают, перенося правило для уравнения ab = 0 на любое произведение. Перед поиском корней проверьте, что одна часть уравнения равна нулю.
В дроби нельзя сокращать слагаемые: так, выражение (x + 2)/x не превращается в 2. Сократить можно только общий множитель числителя и знаменателя, поэтому сначала раскладывают выражения на произведения. Для проверки отметьте, на что умножены множители в числителе и знаменателе, и не забудьте исключить значения, при которых знаменатель равен нулю.
Для разложения нужно уметь раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые и находить общий множитель одночленов. Эти действия помогают проверить результат и увидеть, как преобразовать сумму в произведение. Разложение, в свою очередь, пригодится при решении уравнений, упрощении алгебраических дробей и преобразовании выражений. Значит, оно связывает вычисления с изучением уравнений и дробей.
Что значит разложить многочлен на множители?
Это значит представить многочлен в виде произведения двух или нескольких выражений. Например, 6x + 9 = 3(2x + 3): число 3 и выражение 2x + 3 — множители.
Чем разложение на множители отличается от раскрытия скобок?
При раскрытии скобок произведение превращают в сумму или разность слагаемых. При разложении делают обратное: сумму записывают как произведение.
Как понять, какой множитель можно вынести за скобки?
Нужно найти выражение, на которое делится каждое слагаемое многочлена. Это может быть общее число, переменная или их произведение. После деления каждого слагаемого оставшиеся части записывают в скобках.
Зачем раскладывать многочлены на множители?
Произведение может быть удобнее суммы для вычислений. Разложение также помогает решать уравнения, когда произведение равно нулю, и упрощать дроби, если у числителя и знаменателя есть общий множитель.
Почему в дроби нельзя сокращать отдельные слагаемые?
Сокращение означает деление числителя и знаменателя на один и тот же множитель, поэтому сначала выражения нужно представить как произведения. Например, в дроби (x + 2)/x нельзя сократить x, потому что в числителе x — только часть суммы, а не множитель всего числителя.
§ 30. Что такое разложение многочленов на множители и зачем оно нужно
