"Алгебра", Мордкович А.Г.
Деление многочлена на одночлен — это деление каждого слагаемого многочлена на один и тот же ненулевой одночлен. Чтобы выполнить его, числовые коэффициенты делят, а показатели одинаковых переменных вычитают. Если переменной нет в делителе, её степень в соответствующем слагаемом сохраняется. Полученные одночлены записывают как сумму и, если возможно, приводят подобные слагаемые. Проверить частное можно умножением на делитель.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многочлен — сумма одночленов, то есть выражение, которое можно записать как сумму отдельных слагаемых. Например, 3x² − 2x + 5 состоит из трёх членов: 3x², −2x и 5. Такое представление нужно, чтобы при делении обработать каждое слагаемое отдельно.
Одночлен — произведение числового коэффициента и степеней переменных, например 4ab² или −3x². Число перед буквами называют коэффициентом, а верхнее число у буквы — показателем степени. В этой теме одночлен-делитель должен быть отличен от нуля, потому что деление на ноль не определено.
Деление многочлена на одночлен — действие, при котором каждый член многочлена делят на данный одночлен. Например, в выражении (6x + 9) : 3 на 3 делят и 6x, и 9. Это определение подсказывает основной порядок работы: не пропустить ни одного слагаемого и сохранить его знак.
Многочлен можно представить в виде суммы его членов, например A + B − C. Если каждое слагаемое разделить на один и тот же ненулевой делитель M, то сумма частных даст частное всего многочлена: (A + B − C) : M = A : M + B : M − C : M. Именно поэтому делитель применяют к каждому члену, а не только к первому; знак минус при этом остаётся частью соответствующего слагаемого.
В каждом члене сначала удобно разобраться с числовой частью. Числовой коэффициент этого члена делят на коэффициент одночлена-делителя, учитывая знаки: положительное число, делённое на отрицательное, даёт отрицательное, а два отрицательных числа дают положительное. Например, коэффициент −15 при делении на 5 превращается в −3. Если коэффициенты не делятся нацело, результат можно оставить дробью, если это допускает задание.
Затем отдельно работают с буквенными частями. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитают: a⁵ : a² = a³, потому что в числителе и знаменателе сокращаются две общие степени a. Это правило применяют к каждой переменной отдельно, а не делят показатели друг на друга. Если переменная есть в члене, но отсутствует в делителе, её показатель не меняется: например, x³ : 2 = x³, ведь из показателя вычитается ноль.
После деления каждого члена полученные одночлены записывают в прежнем порядке как сумму, сохраняя знаки. Такая запись показывает, что ни один член не потерялся и каждый был разделён на один и тот же делитель. Если в результате есть подобные слагаемые — с одинаковой буквенной частью и одинаковыми показателями, — их коэффициенты складывают или вычитают. Например, 2x + 3x можно заменить на 5x.
Результат удобно проверить обратным действием — умножением. Частное умножают на одночлен-делитель, распределяя умножение на все члены частного. Если после умножения степеней и упрощения получилось исходное выражение, вычисления согласуются с правилом деления. Если выражение не совпало, стоит проверить коэффициенты, знаки и показатели степеней в каждом слагаемом.
| Что делим | Правило | Пример |
|---|---|---|
| Числовые коэффициенты | Коэффициент каждого члена делим на коэффициент делителя, учитывая знаки. | −12 : 4 = −3 |
| Степени одинаковых переменных | Показатели степеней с одинаковым основанием вычитаем. | x⁵ : x² = x³ |
| Переменная есть в делимом, но отсутствует в делителе | Её показатель не меняется: вычитаем ноль. | a³ : 2 = ½a³ |
| Многочлен целиком | Делим на одночлен каждый член многочлена, затем записываем сумму частных. | (6x + 9) : 3 = 2x + 3 |
Пользуйся таблицей по порядку: сначала раздели коэффициенты, затем обработай каждую переменную, а после этого запиши все полученные члены с их знаками. В строке о целом многочлене указано главное правило, которое объединяет остальные. Если результат содержит подобные слагаемые, после деления их можно привести.
Задача 1. Разделите 12x + 8 на 4. Здесь делитель — число, поэтому буквенная часть меняется только в первом слагаемом: во втором её вообще нет. Чтобы не потерять часть суммы, разделим на 4 каждый член. Затем сложим полученные слагаемые.
Ответ: 3x + 2. Проверка дала исходный многочлен, значит, деление выполнено верно. При такой проверке умножение на число распределяется на оба члена частного.
Задача 2. Разделите 15a²b − 10ab² на 5ab. В многочлене два члена, поэтому делитель нужно применить к каждому. В каждом слагаемом отдельно разделим коэффициенты и степени одинаковых переменных. Минус перед вторым членом сохранится и повлияет на знак частного.
Ответ: 3a − 2b. Здесь единицы после сокращения букв не записывают. Проверка: (3a − 2b) · 5ab = 15a²b − 10ab², то есть исходный многочлен.
Задача 3. Разделите 18x³y − 12x²y² + 6xy на 6xy и упростите результат. Здесь три слагаемых, и каждое нужно разделить на 6xy. Для каждой переменной вычитаем показатель делителя из показателя в соответствующем члене. После вычислений проверим результат умножением на 6xy.
Ответ: 3x² − 2xy + 1. Проверка: (3x² − 2xy + 1) · 6xy = 18x³y − 12x²y² + 6xy. Получилось исходное выражение, поэтому частное верно.
Иногда делят только первый член многочлена, забывая остальные. Так бывает, если ученик воспринимает выражение как одно целое и не раскрывает его на слагаемые. Проверяй, чтобы в записи деления по членам каждому слагаемому соответствовал отдельный результат.
Другая ошибка — делить показатели степеней вместо того, чтобы их вычитать. Например, x⁶ : x² = x⁴, а не x³: сокращаются две общие степени x, поэтому остаётся четвёртая. Проверить себя можно обратным умножением: x⁴ · x² должно дать x⁶.
Можно ошибочно изменить степень переменной, которой нет в делителе, или вовсе убрать эту переменную. В таком случае забывают, что отсутствие переменной означает показатель 0: например, x⁴ : 2 содержит x⁴. При проверке умножением исходная переменная должна восстановиться с правильной степенью.
Наконец, легко потерять минус или неверно разделить числовые коэффициенты. Это случается, когда коэффициент считают отдельно, не связывая его знак с членом многочлена. Делай проверку для каждого результата: умножь его коэффициент на коэффициент делителя и проверь знак, а затем перемножь буквенные части.
Для деления многочлена на одночлен нужно узнавать одночлены и многочлены, находить коэффициенты и определять степени переменных. Также пригодится правило умножения степеней с одинаковым основанием: именно оно объясняет, почему при делении показатели вычитают. После деления может понадобиться привести подобные слагаемые, то есть сложить коэффициенты членов с одинаковой буквенной частью. Этот приём используют при упрощении алгебраических выражений и преобразовании многочленов.
Почему каждый член многочлена нужно делить отдельно?
Потому что многочлен можно представить как сумму отдельных слагаемых, а деление суммы на один и тот же ненулевой делитель распределяется на каждое слагаемое. Если разделить только первый член, остальные части выражения останутся без учёта.
Можно ли делить многочлен на одночлен, равный нулю?
Нет, делить на ноль нельзя: такое действие не имеет смысла. Поэтому одночлен-делитель в этой теме должен быть отличен от нуля.
Что делать с переменной, которой нет в делителе?
Её степень не меняется. Это можно объяснить тем, что в делителе такая переменная как будто имеет степень 0, а при делении показатели вычитают: aⁿ : a⁰ = aⁿ.
Как изменяются показатели степеней при делении?
Если в делимом и делителе есть одна и та же переменная, из показателя в делимом вычитают показатель в делителе. Например, x⁵ : x² = x³. Показатели не делят друг на друга.
Как проверить, правильно ли выполнено деление?
Умножь полученное частное на одночлен-делитель. Если после раскрытия скобок и упрощения получилось исходное выражение, деление выполнено верно.
§ 29. Деление многочлена на одночлен
