§ 34. Деление многочлена на одночлен

Определения и обозначения

Одночлен — это произведение чисел и переменных, возведённых в неотрицательные целые степени. Например, 5a²b — одночлен, в котором 5 является числовым множителем, а a²b — буквенной частью. Числовой множитель одночлена называют коэффициентом; это понятие помогает отдельно работать с числами и переменными при делении.

Многочлен — сумма одночленов, например 4x² − 3xy + 7. Его можно записать как сумму отдельных слагаемых: 4x², −3xy и 7. Такое представление нужно, чтобы видеть, какие именно части выражения следует делить на одночлен.

Деление многочлена на одночлен — действие, при котором каждый член многочлена делят на данный одночлен, если деление возможно. Например, в выражении (6a²b − 9ab²) : 3ab делителю 3ab соответствуют два слагаемых. Понимание этого правила помогает выполнить действие по частям и не потерять ни одно слагаемое.

Как это устроено

Представь многочлен как сумму нескольких слагаемых. Если умножить сумму на одночлен, делитель умножится на каждое слагаемое отдельно. Поэтому, чтобы после умножения получить исходный многочлен, каждое слагаемое нужно предварительно разделить на делитель: произведения восстановят исходные части суммы.

В каждом слагаемом сначала удобно разделить числовой коэффициент на числовой коэффициент делителя. Например, при делении 12x на 3 число 12 делится на 3, а переменная x остаётся без изменений. Такой порядок позволяет не смешивать действия с числами и буквами.

Буквенные части делят по правилу степеней с одинаковым основанием: показатели вычитают. Например, a⁵ : a² = a³, так как a³ · a² = a⁵, а при умножении степеней показатели складываются. Если буква встречается только в числителе, её можно считать делённой на 1, поэтому она остаётся в ответе.

Чтобы частное было многочленом, в каждом слагаемом делимого должны присутствовать все переменные делителя с не меньшими показателями. Если, например, делить x² на x³, получится x⁻¹, а отрицательная степень не входит в определение многочлена. Поэтому перед вычислением проверь каждое слагаемое, а не только первое.

Общий порядок такой: раздели каждое слагаемое многочлена на одночлен, выполни деление коэффициентов и буквенных частей, затем запиши результат. Знаки слагаемых сохраняются, если делитель положительный; при отрицательном делителе знаки частных меняются. Так как один и тот же делитель применяется ко всем слагаемым, проверь знак каждого результата отдельно.

Как разделить многочлен на одночлен

Таблица показывает, какие части выражения нужно рассматривать по очереди и как проверить вычисления. В столбце с примерами приведены образцы действий, а не дополнительные задания. Пользуйся строками последовательно: от коэффициентов и степеней к слагаемым и всему многочлену.

Разбор задач

Задача 1. Разделите 12x на 3.

1. В записи 12x числовой коэффициент равен 12, а буквенная часть — x. Делитель 3 состоит только из числа, значит буквенная часть не меняется.
2. Выполним деление коэффициентов: 12 : 3 = 4. Запишем рядом оставшуюся переменную x.

Ответ: 12x : 3 = 4x. Проверка проста: 4x · 3 = 12x, то есть мы получили исходное выражение.

Задача 2. Разделите (6a²b − 9ab²) на 3ab.

1. В многочлене два слагаемых, поэтому разделим на 3ab каждое из них. Первое слагаемое положительное, а второе отрицательное — эти знаки нужно учесть.
2. Для первого слагаемого делим коэффициенты и вычитаем показатели одинаковых букв: 6 : 3 = 2, a² : a = a, b : b = 1. Получаем 2a.
3. Для второго слагаемого получаем −9 : 3 = −3, a : a = 1, b² : b = b. Минус сохраняется, поэтому результат этой части равен −3b.

Ответ: (6a²b − 9ab²) : 3ab = 2a − 3b. Проверим: (2a − 3b) · 3ab = 6a²b − 9ab², значит деление выполнено верно.

Задача 3. Разделите (8x³y − 12x²y² + 4xy) на 4xy и проверьте ответ.

1. Здесь три слагаемых, и каждое нужно разделить на 4xy. Все они содержат x и y не в меньших степенях, чем делитель, поэтому в частном останутся только неотрицательные показатели.
2. Делим первое слагаемое: 8 : 4 = 2, x³ : x = x², y : y = 1. Получаем 2x².
3. Во втором слагаемом коэффициенты дают −12 : 4 = −3, а буквенные части — x² : x = x и y² : y = y. Получаем −3xy.
4. В третьем слагаемом 4 : 4 = 1, x : x = 1 и y : y = 1. Поэтому последнее слагаемое частного равно 1.

Ответ: 2x² − 3xy + 1. Проверка: (2x² − 3xy + 1) · 4xy = 8x³y − 12x²y² + 4xy, то есть исходный многочлен восстановлен.

Типичные ошибки

Ошибка: разделить только первое слагаемое. Так поступают, когда воспринимают многочлен как одно выражение, не замечая его частей. Раздели по очереди каждое слагаемое и проверь, что в частном столько же соответствующих частей, сколько было в делимом.

Ошибка: потерять знак слагаемого. Это случается, если при вычислениях записывают только коэффициенты и не переписывают знаки. Сначала обозначь знак каждого слагаемого, а затем учти знак делителя; проверка умножением покажет, совпадают ли знаки.

Ошибка: складывать показатели одинаковых переменных. Такое правило относится к умножению, потому что при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются. При делении показатели вычитают; себя можно проверить обратным умножением, которое должно вернуть исходную степень.

Ошибка: получить отрицательный показатель и считать ответ многочленом. Это возможно, если показатель переменной в делимом меньше, чем в делителе, например x² : x³ = x⁻¹. До вычислений сравни показатели в каждом слагаемом: если требуется именно многочлен, показатель делимого должен быть не меньше.

Связь с другими темами

Для деления многочлена на одночлен нужно знать, что такое одночлен и многочлен, а также уметь умножать одночлены. Правила деления чисел помогают найти новый коэффициент, а свойства степеней с одинаковыми основаниями — выполнить действия с переменными. Это деление пригодится при упрощении выражений и решении уравнений. Навык особенно полезен, когда в уравнении есть общий одночленный множитель у нескольких слагаемых.

Что запомнить

• Многочлен делят на одночлен по слагаемым.
• Каждое слагаемое делят на один и тот же одночлен.
• Коэффициенты делят.
• Показатели одинаковых переменных вычитают.
• Знаки слагаемых сохраняют с учётом знака делителя.
• Проверить результат можно умножением частного на делитель.