"Алгебра (в 2 частях)", Мордкович А.Г (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Формулы сокращённого умножения помогают быстро раскрывать скобки и раскладывать многочлены на множители. Они заменяют длинное умножение короткими готовыми правилами: например, квадрат суммы превращается в сумму квадратов и удвоенного произведения. Нужно уметь узнавать нужную структуру выражения, следить за знаками и помнить, что вместо букв могут стоять целые многочлены.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадрат суммы — это правило (a + b)² = a² + 2ab + b². Справа стоят квадрат первого слагаемого, удвоенное произведение слагаемых и квадрат второго слагаемого. Формула нужна, чтобы быстро раскрыть скобки, не перемножая двучлен с самим собой каждый раз.
Квадрат разности выражается формулой (a − b)² = a² − 2ab + b². В ней среднее слагаемое — удвоенное произведение a и b со знаком минус, а последний член — квадрат b. Это правило помогает раскрывать скобки, если внутри стоит вычитание.
Разность квадратов — выражение вида a² − b², которое можно заменить произведением (a − b)(a + b). Здесь используются те же два выражения: их разность и сумма. Формула особенно полезна при разложении многочлена на множители — представлении его в виде произведения.
Куб суммы и куб разности раскрываются так: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ и (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³. В каждой формуле четыре слагаемых, а коэффициенты при средних членах равны 3. Эти правила сокращают умножение трёх одинаковых двучленов и помогают быстро преобразовывать выражения.
Чтобы получить квадрат суммы, представим его как умножение двух одинаковых скобок: (a + b)(a + b). Каждый член первой скобки умножается на каждый член второй, поэтому получаем a² + ab + ab + b². Произведения ab и ba равны, ведь от перестановки множителей произведение не меняется. Поэтому они складываются в один средний член 2ab.
Квадрат разности тоже является произведением двучлена на себя: (a − b)(a − b). При умножении получаются a² − ab − ab + b²: два средних произведения отрицательны, потому что в каждом участвует один множитель со знаком минус. Вместе они дают −2ab. Последний член положителен, поскольку (−b)(−b) = b²: произведение двух отрицательных множителей положительно.
Разложение разности квадратов проверим умножением суммы на разность: (a − b)(a + b). Раскроем скобки и получим a² + ab − ab − b². Средние произведения взаимно уничтожаются: к ab прибавляется противоположное ему −ab, и их сумма равна нулю. Остаются только a² − b², поэтому формулу можно применять и в обратную сторону.
Куб суммы — это (a + b)(a + b)(a + b), а куб разности — три одинаковые скобки (a − b). После раскрытия скобок крайние члены получаются как a³ и b³. Слагаемое a²b возникает тремя способами: множитель b можно выбрать в любой из трёх скобок; так же тремя способами получается ab². Поэтому коэффициенты идут в порядке 1, 3, 3, 1. В кубе разности знаки зависят от числа множителей −b: при нечётном числе знак минус, при чётном — плюс.
Формулу можно использовать в обе стороны: раскрыть скобки или узнать готовую структуру и разложить выражение на множители. Сначала определите, есть ли квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов или куб двучлена, а затем сопоставьте части выражения с буквами a и b. Вместо них могут стоять не только числа и отдельные буквы, но и целые выражения. Например, в (x + 2y)² роль a играет x, а роль b — 2y.
| Название | Формула | Что помогает сделать |
|---|---|---|
| Квадрат суммы | (a + b)² = a² + 2ab + b² | Раскрыть квадрат двучлена со сложением. |
| Квадрат разности | (a − b)² = a² − 2ab + b² | Раскрыть квадрат двучлена с вычитанием. |
| Разность квадратов | a² − b² = (a − b)(a + b) | Разложить разность квадратов на множители или раскрыть произведение. |
| Куб суммы | (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ | Раскрыть куб суммы двух выражений. |
| Куб разности | (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ | Раскрыть куб разности двух выражений. |
Сначала найдите знакомую форму и определите, какое выражение играет роль a, а какое — b. Затем выберите строку таблицы и проверьте знаки и порядок слагаемых. Если дана разность квадратов, формулу можно применять в обратном направлении, чтобы получить произведение.
Здесь возводится в квадрат сумма двух слагаемых, значит, подходит формула квадрата суммы. Сопоставим выражение со стандартной записью: a = x, b = 4. Особенно внимательно найдём средний член — это удвоенное произведение, а не просто произведение x и 4.
Ответ: x² + 8x + 16.
В выражении вычитаются два квадрата: 9a² = (3a)², а 25b² = (5b)². Поэтому применим разность квадратов, считая первым выражением 3a, а вторым — 5b. При записи результата важно оставить две скобки: в одной будет разность, в другой сумма.
Ответ: (3a − 5b)(3a + 5b).
В первом слагаемом стоит квадрат разности, а во втором — произведение суммы и разности с одинаковыми частями. Значит, можно использовать две разные формулы, а после раскрытия скобок собрать подобные члены. Подобные члены — это слагаемые с одинаковой буквенной частью.
Ответ: 8x² − 12x.
Ошибка: записать (a + b)² = a² + b² и пропустить средний член. Так делают, когда пытаются возвести в квадрат каждое слагаемое отдельно, но квадрат суммы означает умножение всей скобки на себя. Проверка: раскройте (a + b)(a + b) и убедитесь, что произведения ab появляются дважды.
Ошибка: в формуле (a − b)² записать последний член как −b². Знак путают из-за минуса перед b, забывая, что при умножении двух отрицательных множителей результат положительный. Проверка: отдельно вычислите (−b)(−b) — получится b².
Ошибка: путать разность квадратов и квадрат разности. В первом случае a² − b² = (a − b)(a + b), а во втором (a − b)² = a² − 2ab + b²; похожие слова не означают одинаковые выражения. Проверяйте расположение скобок и наличие квадрата: возведение в квадрат относится ко всей разности только во втором случае.
Ошибка: при раскрытии куба потерять коэффициенты 3 или перепутать знаки. Коэффициенты появляются потому, что одинаковые средние произведения возникают по три раза; в кубе разности знаки чередуются. Проверяйте результат по полной формуле: коэффициенты должны быть 1, 3, 3, 1, а знаки — соответствовать сумме или разности.
Для работы с формулами нужны навыки умножения многочленов, раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых. Эти действия помогают понять, откуда берутся формулы, и проверить результат, если он кажется сомнительным. Новые правила затем ускоряют преобразование выражений и разложение многочленов на множители. Они также пригодятся при упрощении дробей, когда числитель или знаменатель можно представить в виде произведения.
Почему в квадрате суммы появляется слагаемое 2ab?
Квадрат суммы — это произведение (a + b)(a + b). При умножении возникают два одинаковых произведения ab: одно из a · b, другое из b · a, поэтому вместе они дают 2ab.
Почему при возведении разности в квадрат последний член положительный?
В формуле квадрата разности последний член — это квадрат второго слагаемого: (−b)² = b². При умножении двух отрицательных множителей получается положительное число.
Как отличить разность квадратов от квадрата разности?
В разности квадратов вычитаются два уже возведённых в квадрат выражения: a² − b² = (a − b)(a + b). Квадрат разности — это выражение (a − b)², которое раскрывается как a² − 2ab + b².
Могут ли вместо букв a и b стоять многочлены?
Да, вместо a и b можно подставлять любые выражения, в том числе многочлены. Например, формулу квадрата суммы можно применить к выражению (x + 2y + 1)², рассматривая x + 2y и 1 как два слагаемых.
Как проверить, правильно ли раскрыты скобки по формуле сокращённого умножения?
Сверьте выражение с нужной формулой: проверьте квадраты или кубы крайних слагаемых, коэффициенты и знаки. Для дополнительной проверки можно умножить скобки обычным способом или подставить вместо букв простые числа.
§ 33. Формулы сокращённого умножения
