"Алгебра (в 2 частях)", Мордкович А.Г (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно перемножить каждое слагаемое первого выражения с каждым слагаемым второго, а затем сложить полученные произведения. Такой способ следует из распределительного свойства умножения и работает независимо от числа слагаемых. Важно не пропустить ни одну пару, правильно перемножить коэффициенты и учесть знаки. После раскрытия скобок часто можно упростить ответ, приведя подобные слагаемые.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многочлен — алгебраическое выражение, состоящее из суммы одночленов. Например, 3x² − 2x + 5 можно записать как 3x² + (−2x) + 5: вычитание здесь представлено сложением слагаемого −2x. Такое представление удобно, потому что позволяет применять к многочленам правила сложения и умножения сумм.
Произведение многочленов — результат умножения каждого слагаемого одного многочлена на каждое слагаемое другого. Например, при умножении двух двучленов появляются четыре произведения. Это определение задаёт полный порядок раскрытия скобок и помогает не забыть ни одну пару слагаемых.
Подобные слагаемые — слагаемые с одинаковой буквенной частью, включая одинаковые показатели степеней. Например, 4x и −x подобны, а x и x² — нет. После раскрытия скобок коэффициенты подобных слагаемых складывают или вычитают, чтобы записать выражение короче и проще.
Правило умножения многочленов вытекает из распределительного свойства умножения относительно сложения. Например, (a + b)(c + d) можно сначала умножить на сумму c + d, а затем каждый полученный член распределить по слагаемым a и b. Так выходит ac + ad + bc + bd: все четыре слагаемых появились закономерно, а не по отдельному правилу для каждой скобки.
Удобно действовать по одному слагаемому первого многочлена: умножить его на все слагаемые второго, затем взять следующее слагаемое и повторить. Такой порядок нужен, чтобы охватить каждую пару ровно один раз. Например, у двучлена и трёхчлена должно получиться 2 · 3 = 6 произведений; если результат другой, стоит проверить вычисления.
Каждое произведение слагаемых обычно является произведением одночленов. Для него перемножают числовые коэффициенты, а степени одинаковых букв складывают: например, 2x · 3x² = 6x³, потому что x · x² = x³. Буквы с разными основаниями не объединяют: например, x и y остаются вместе как xy.
После раскрытия скобок могут появиться одинаковые буквенные части, поэтому выражение можно сократить. Например, 3x + 2x = 5x: складываются коэффициенты, а x остаётся на месте. Приведение подобных слагаемых упрощает ответ и помогает заметить, какие части выражения действительно можно объединить.
Знаки учитывают у каждой пары отдельно: минус на минус даёт плюс, а минус на плюс — минус. Если слагаемое записано с минусом, этот знак участвует в умножении вместе с коэффициентом. Минус перед целой скобкой означает умножение каждого её слагаемого на −1, поэтому знаки внутри скобки меняются на противоположные.
| Шаг | Что сделать | Пример для (a + b)(c + d) |
|---|---|---|
| 1 | Умножить первое слагаемое первого многочлена на каждое слагаемое второго | ac + ad |
| 2 | Умножить следующее слагаемое первого многочлена на каждое слагаемое второго | bc + bd |
| 3 | Сложить полученные произведения | ac + ad + bc + bd |
| 4 | Привести подобные слагаемые, если они есть | Например, если некоторые члены подобны, сложить их коэффициенты |
Пользуйся таблицей как проверочным маршрутом: сначала полностью обработай одно слагаемое, затем следующее. После этого собери все произведения в одну сумму и проверь, можно ли объединить подобные. В примере с буквами a, b, c, d подобные члены могут не появиться, поэтому последний шаг иногда ничего не меняет.
Сначала умножим x на оба слагаемых второй скобки: x · x = x² и x · 3 = 3x. Получаем x² + 3x. Так мы обработали все пары с первым слагаемым первой скобки.
Теперь умножим 2 на x и на 3: 2 · x = 2x, 2 · 3 = 6. Записываем все результаты вместе: x² + 3x + 2x + 6.
Слагаемые 3x и 2x подобны, поэтому складываем их коэффициенты: 3x + 2x = 5x. Ответ: x² + 5x + 6.
Запишем −3 как слагаемое со знаком минус и начнём с 2a. Умножаем его на оба члена второй скобки: 2a · a = 2a², 2a · 4 = 8a. Знак обоих произведений положительный.
Теперь умножаем −3 на каждое слагаемое: (−3) · a = −3a, (−3) · 4 = −12. Отрицательное слагаемое при умножении на положительные числа даёт отрицательные результаты.
Собираем результаты: 2a² + 8a − 3a − 12. Приводим подобные слагаемые 8a и −3a: их коэффициенты дают 5. Ответ: 2a² + 5a − 12.
Раскроем первую пару скобок: x · x + x · 2 − 2 · x − 2 · 2 = x² + 2x − 2x − 4 = x² − 4. Средние слагаемые взаимно уничтожаются.
Раскроем вторую пару скобок отдельно: x · x + x · 3 − 1 · x − 1 · 3 = x² + 3x − x − 3 = x² + 2x − 3. Пока минус перед произведением не применяем, чтобы не спутать его со знаками при раскрытии.
Вычитаем всё второе выражение: x² − 4 − (x² + 2x − 3) = x² − 4 − x² − 2x + 3. Внешний минус меняет знаки всех трёх слагаемых второй скобки.
Приводим подобные: x² − x² = 0, а −4 + 3 = −1. Ответ: −2x − 1.
Иногда умножают только первые или одноимённые слагаемые, например в (a + b)(c + d) записывают лишь ac + bd. Это происходит, если забыть, что каждое слагаемое умножается на всю сумму во второй скобке. Проверь количество пар: у двух двучленов их четыре, значит, до упрощения должно быть четыре произведения.
При умножении одночленов могут сложить коэффициенты или перемножить показатели степеней одинаковых букв. Например, 2x · 3x² — это 6x³, а не 5x³ и не 6x². Ошибка возникает из-за смешения правил сложения и умножения; проверяй отдельно числа и буквенную часть: коэффициенты перемножаются, показатели складываются.
Знак отрицательного слагаемого иногда теряется, особенно когда минус стоит внутри одной из скобок. Тогда отдельные произведения получаются неверными, хотя сами числа перемножены правильно. Перед вычислением выпиши знаки обоих множителей и примени правило знаков: одинаковые дают плюс, разные — минус.
Нельзя складывать слагаемые с разной буквенной частью или разными степенями, например x и x². Такая попытка кажется удобным сокращением записи, но значения этих выражений меняются по-разному. Сверь буквенную часть целиком: объединяй только совпадающие буквы с теми же показателями, складывая при этом одни коэффициенты.
Для раскрытия скобок нужно знать распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания: оно объясняет, откуда берутся все произведения слагаемых. Также пригодятся умножение одночленов и приведение подобных слагаемых, потому что это основные действия внутри решения. Освоенный способ используют при преобразовании выражений и раскрытии скобок, а затем — при решении уравнений, где упрощённая запись помогает увидеть неизвестное.
Почему при умножении двух многочленов нужно перемножить каждую пару слагаемых?
Это следует из распределительного свойства: каждый член первой суммы умножается на всю вторую сумму. Если раскрывать вторую сумму таким же способом, получится произведение каждой возможной пары слагаемых.
В каком порядке удобнее раскрывать скобки?
Выбери одно слагаемое первого многочлена и умножь его на все слагаемые второго. Затем переходи к следующему слагаемому первого многочлена. Главное — пройти все пары, а порядок можно выбрать удобный.
Что делать, если в произведении есть отрицательные слагаемые?
При умножении каждой пары отдельно определи знак произведения по правилам умножения чисел. Например, произведение чисел с разными знаками отрицательно, а с одинаковыми — положительно. Минус перед скобками меняет знаки всех её слагаемых.
Когда можно складывать слагаемые после раскрытия скобок?
Складывать или вычитать можно только подобные слагаемые — с одинаковой буквенной частью и одинаковыми показателями степеней. При этом складывают коэффициенты, а буквенную часть оставляют без изменений.
Как проверить, что ни одно произведение слагаемых не пропущено?
Для проверки посчитай пары: если в первом многочлене два слагаемых, а во втором три, должно получиться шесть произведений. Можно выписать умножение каждого слагаемого первого многочлена на все слагаемые второго и отмечать выполненные пары.
§ 32. Умножение многочлена на многочлен
