"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.
Многочлены умножают, чтобы преобразовывать выражения со скобками и получать более удобную для вычислений или решения уравнений запись. Для этого каждый одночлен первого многочлена умножают на каждый одночлен второго, а затем складывают полученные произведения и приводят подобные слагаемые. При умножении одночленов перемножают коэффициенты, а показатели одинаковых переменных складывают. Главное — не пропустить ни одной пары слагаемых и правильно учесть знаки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многочлен — алгебраическое выражение, составленное из суммы одночленов. Одночлен может содержать числовой коэффициент и переменные, возведённые в неотрицательные целые степени, например 4x²y или −3a. Многочлены удобно складывать и умножать, рассматривая каждый из них как набор таких слагаемых.
Степень многочлена с одной переменной — наибольшая степень переменной среди его ненулевых одночленов. Например, в многочлене 2x³ − 5x + 1 степень равна 3: это наибольший показатель x. Степень помогает описывать многочлен и сравнивать его с другими выражениями.
Произведение многочленов — результат умножения каждого одночлена одного многочлена на каждый одночлен другого с последующим приведением подобных слагаемых. Например, при перемножении двух скобок сначала получают несколько произведений, а потом упрощают их сумму. Такое определение задаёт порядок действий и помогает не терять слагаемые.
Многочлены удобно записывать как суммы одночленов, потому что к суммам можно последовательно применять распределительное свойство. Например, выражение (a + b)c означает ac + bc: множитель c относится и к a, и к b. По той же причине произведение двух многочленов можно раскрыть, шаг за шагом распределяя множители по слагаемым.
Каждый член первого многочлена нужно умножить на каждый член второго. Это следует из распределительного свойства, применённого сначала к одной скобке, затем к другой: ни одна пара слагаемых не может исчезнуть из результата. Если один многочлен содержит m членов, а второй n, до упрощения получится m · n произведений.
Для двух двучленов удобно записать произведения рядами: сначала умножить первый член первой скобки на оба члена второй, затем второй член первой скобки — тоже на оба. Так в произведении (a + b)(c + d) появляются ac, ad, bc и bd. Этот порядок даёт список всех пар и позволяет проверить, что ни одно произведение не забыто.
После раскрытия скобок могут встретиться слагаемые с одинаковыми буквенными частями и степенями. Они являются подобными, поэтому их можно объединить: например, 2x и 5x дают 7x. Слагаемые с разными буквенными частями, такие как x и y, объединять нельзя, поэтому перед упрощением нужно сравнить их буквенную запись.
В многочленах с несколькими переменными действуют те же правила умножения одночленов. Коэффициенты перемножают, а показатели одинаковых переменных складывают: например, (2x²y)(−3xy³) = −6x³y⁴. Для x показатели 2 и 1 складываются, для y — 1 и 3; знак минус получается при умножении положительного числа на отрицательное.
Таблица помогает выполнять действия в устойчивом порядке: сначала получают все произведения, а в конце упрощают результат. Если на каком-либо этапе возникло сомнение, вернитесь к парам членов и проверьте, что ни одна не пропущена. Последняя проверка — сравнить число первоначальных произведений с количеством членов в обеих скобках.
| Этап | Что сделать | Пример |
|---|---|---|
| Раскрытие скобок | Умножить каждый член первого многочлена на каждый член второго | (x + 1)(x + 2) |
| Умножение членов | Выполнить умножение одночленов, учитывая коэффициенты, степени и знаки | x · x = x² |
| Запись произведений | Записать все полученные произведения | x² + 2x + x + 2 |
| Приведение подобных слагаемых | Объединить слагаемые с одинаковыми буквенными частями | x² + 3x + 2 |
| Проверка полноты раскрытия и упрощения | Проверить все пары, знаки и подобные слагаемые | Для двух двучленов должно быть 2 · 2 = 4 произведения |
В обеих скобках по два члена, поэтому до упрощения должны появиться четыре произведения. Умножим каждый член первой скобки на каждый член второй, а затем объединим слагаемые с x. Такой порядок позволяет не пропустить ни одну пару.
Ответ: x² + 7x + 10. Здесь получились четыре произведения, как и должно быть для двух двучленов, а два слагаемых с x удалось объединить.
Двучлен умножается на трёхчлен, значит, нужно получить шесть произведений. Удобно сначала умножить 2a на каждый член трёхчлена, а потом −3 — на каждый из них. Отрицательный множитель −3 меняет знак положительных произведений на отрицательный.
Ответ: 2a³ − a² − 11a + 12. Всего было шесть произведений, и при упрощении объединились только одночлены с одинаковыми степенями a.
Сначала раскроем каждое произведение отдельно, чтобы не спутать его с вычитанием между скобками. Затем вычтем второй многочлен: для этого поменяем знаки всех его слагаемых. В конце сгруппируем одинаковые буквенные части.
Ответ: x² − 4xy + y². При вычитании многочлена знак меняется у каждого его слагаемого, а не только у первого.
Иногда умножают только первые или крайние члены скобок и забывают остальные пары. Так происходит, если раскрывать скобки наспех; проверьте, что каждый член первой скобки встретился с каждым членом второй. Для двух двучленов должно быть четыре произведения, для двучлена и трёхчлена — шесть.
Знаки произведений могут быть определены неверно, особенно если множители отрицательные. Чтобы не ошибиться, выясняйте знак каждого произведения отдельно: два отрицательных множителя дают положительный результат, а множители разных знаков — отрицательный. После этого проверьте знак и числовой коэффициент каждого одночлена.
При сложении подобных слагаемых иногда складывают показатели, а при умножении одночленов — перемножают их. Показатели одинаковых переменных складывают именно при умножении, например x² · x³ = x⁵; при сложении x² + x³ остаётся без упрощения. Перед действием определите, умножаете вы одночлены или складываете их.
Ещё одна ошибка — не приводить подобные слагаемые или объединять слагаемые с разными буквенными частями. Чтобы проверить себя, сравните все переменные и их показатели: 3xy и −2xy подобны, а xy и x²y — нет. Складывать можно только коэффициенты подобных слагаемых, сохраняя буквенную часть.
Для умножения многочленов нужны распределительное свойство умножения относительно сложения, правила действий с одночленами и умение приводить подобные слагаемые. Эти знания объясняют, откуда берутся все произведения и как упрощать их сумму. Поэтому при затруднении полезно отдельно проверить каждый из этих шагов.
Умножение многочленов пригодится при раскрытии скобок в выражениях, преобразовании многочленов и решении уравнений. После раскрытия скобок выражение часто становится удобнее для сравнения и дальнейших действий. В уравнениях это помогает привести обе части к более простому виду.
Почему при умножении многочленов каждый член нужно умножить на каждый?
Многочлен — это сумма одночленов, поэтому действует распределительное свойство умножения относительно сложения. Если не умножить какую-то пару слагаемых, часть произведения будет потеряна.
Как не пропустить произведения при раскрытии двух скобок?
Умножайте по очереди каждый член первой скобки на все члены второй. Можно отмечать пары или выписывать произведения строками; число слагаемых до упрощения должно равняться произведению числа членов в скобках.
В каком порядке приводить подобные слагаемые?
Сначала сгруппируйте слагаемые с одинаковой буквенной частью и одинаковыми показателями степеней. Затем сложите или вычтите их коэффициенты, сохранив буквенную часть.
Что делать, если перед произведением стоит минус?
Минус перед скобками означает, что всё выражение в них вычитается. При раскрытии скобок поменяйте знак каждого слагаемого на противоположный, а затем приводите подобные.
Как проверить, что многочлены перемножены правильно?
Проверьте, что каждый член первой скобки умножен на каждый член второй и знаки произведений определены верно. Затем сравните буквенные части и убедитесь, что подобные слагаемые объединены, а непохожие не складывались.
29. Умножение многочлена на многочлен
