15. Умножение многочлена на многочлен

Определения и обозначения

Многочлен — выражение, состоящее из суммы одночленов. Одночлен — это произведение числового коэффициента и переменных, например 3x² или −2ab; числовой коэффициент может быть равен и просто числу. Многочленом будет, например, x² + 3x − 5. Это понятие нужно, чтобы понимать, какие выражения мы перемножаем и из каких слагаемых складываем результат.

Произведение многочленов — результат умножения каждого одночлена одного многочлена на каждый одночлен другого. Например, в произведении (x + 2)(a − 1) нужно учесть пары x и a, x и −1, 2 и a, 2 и −1. Такое определение помогает не пропустить ни одного слагаемого при раскрытии скобок. После вычислений произведения одночленов складывают.

Стандартный вид многочлена — запись, в которой подобные слагаемые уже приведены, а одночлены упорядочены по степеням переменных. Подобными называют одночлены с одинаковой буквенной частью, например 4x² и −x², но не 4x² и 4x. В стандартном виде слагаемые одного типа объединены, поэтому выражение проще читать и сравнивать. К такому виду обычно приводят окончательный ответ.

Как это устроено

Правило умножения многочленов основано на распределительном свойстве умножения относительно сложения: число или выражение перед скобками умножают на каждое слагаемое внутри неё. Например, a(b + c) = ab + ac. Если перед скобками стоит целый многочлен, то его слагаемые по очереди выполняют роль множителя, поэтому каждый из них нужно распределить на все слагаемые другой скобки. Именно поэтому нельзя умножить только первые члены.

Рассмотрим два двучлена, то есть многочлена из двух слагаемых: (x + 3)(x + 2). Сначала x из первой скобки умножается на x и на 2 из второй, затем 3 — на те же два слагаемых. Получаются четыре произведения: x · x, x · 2, 3 · x и 3 · 2. Четыре пары возникают потому, что у каждого слагаемого первого двучлена есть по одной паре со всеми слагаемыми второго.

После того как все пары перемножены, результаты записывают как сумму. Например, в выражении x² + 2x + 3x + 6 слагаемые 2x и 3x подобны: у них одинаковая буквенная часть x, поэтому их можно заменить на 5x. А x² и 6 объединить нельзя, потому что их буквенные части различаются. Приведение подобных делает ответ короче и помогает увидеть его стандартный вид.

Порядок умножения многочленов можно менять: AB = BA, поскольку действует переместительное свойство умножения. Однако при раскрытии скобок удобно соблюдать один порядок: сначала умножить первое слагаемое первой скобки на все слагаемые второй, потом второе и так далее. Такой порядок не меняет ответ, но помогает перечислить все пары. После раскрытия полезно свериться с количеством пар: если в скобках два и три слагаемых, должно получиться шесть произведений.

В одночленах с несколькими переменными коэффициенты перемножают, а показатели степеней одинаковых переменных складывают. Например, 2a²b · 3ab³ = 6a³b⁴: коэффициенты дают 6, для a складываются показатели 2 и 1, а для b — 1 и 3. Переменные с разными буквами не объединяют, а записывают вместе. Это правило следует из смысла степени: a² · a = a · a · a = a³.

Порядок умножения многочленов

Используй таблицу как последовательный план: переходи к следующему шагу после того, как закончил предыдущий. Особенно внимательно проверяй пары слагаемых и их знаки. В конце убедись, что подобные слагаемые объединены.

Разбор задач

1. Выполните умножение: 2x(x + 3).

Здесь одночлен 2x умножается на двучлен, поэтому распределяем его на оба слагаемых. Сначала умножаем на x, затем на 3. Это позволяет применить одно и то же правило к каждому члену скобки.

1. Запишем оба произведения: 2x · x + 2x · 3.

2. В первом произведении x · x = x², поскольку показатели одинакового основания складываются: x¹ · x¹ = x². Во втором произведении 2 · 3 = 6, а переменная x остаётся, поэтому получаем 6x.

3. Запишем результат: x² + 6x. Эти слагаемые не подобны, поэтому объединить их нельзя.

Ответ: x² + 6x.

2. Выполните умножение: (x + 4)(x + 2).

В обеих скобках по два слагаемых, значит, нужно учесть четыре пары. Удобно сначала умножить x из первой скобки на оба слагаемых второй, затем так же поступить с числом 4. Так мы не пропустим произведения и сразу увидим, какие слагаемые можно объединить.

1. Запишем все пары: x · x + x · 2 + 4 · x + 4 · 2.

2. Перемножим: x² + 2x + 4x + 8. Знаки во всех произведениях положительные, потому что все слагаемые положительны.

3. Приведём подобные: 2x + 4x = 6x. Слагаемые x² и 8 имеют другую буквенную часть, поэтому остаются без изменений.

Ответ: x² + 6x + 8.

3. Упростите выражение: (2a − 3b)(a + 2b) − (a − b)(a + b).

Сначала раскроем каждую пару скобок отдельно, а затем учтём минус перед вторым произведением. Чтобы не ошибиться со знаком, сначала найдём оба результата в скобках, и лишь после этого вычтем второй многочлен. В конце сгруппируем слагаемые с одинаковыми буквенными частями.

1. Для первой пары получаем 2a · a + 2a · 2b − 3b · a − 3b · 2b = 2a² + 4ab − 3ab − 6b² = 2a² + ab − 6b².

2. Для второй пары получаем a · a + a · b − b · a − b · b = a² + ab − ab − b² = a² − b². Слагаемые ab и −ab взаимно уничтожаются.

3. Вычтем второй результат: 2a² + ab − 6b² − (a² − b²) = 2a² + ab − 6b² − a² + b². Минус перед скобками меняет знаки обоих её слагаемых.

4. Приведём подобные: 2a² − a² = a², а −6b² + b² = −5b². Слагаемое ab остаётся отдельным.

Ответ: a² + ab − 5b².

Типичные ошибки

Первая ошибка — умножить только первые или крайние слагаемые скобок. Так происходит, когда ученик воспринимает две скобки как одну пару чисел и забывает распределительное свойство. Чтобы проверить себя, перечисли все пары: если в скобках по два слагаемых, произведений должно быть четыре. Удобно отмечать каждую пару по очереди.

Вторая ошибка — потерять минус при умножении отрицательных одночленов. Знак легко перепутать, если одновременно считать коэффициенты и переменные. Сначала отдельно определи знак: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус, затем перемножай числовые коэффициенты. Например, (−2x)(−3y) имеет положительный знак.

Третья ошибка — перемножить показатели степеней одинакового основания вместо того, чтобы сложить их. Например, x² · x³ = x⁵, а не x⁶: показатели складываются, потому что при раскрытии степеней все множители x объединяются в одну цепочку. Проверяй результат, записав степени как повторяющееся умножение. У переменных с разными основаниями показатели не складывают.

Четвёртая ошибка — объединить неподобные слагаемые или не привести подобные. Такие действия путают, если смотреть только на коэффициенты и не сравнивать буквенную часть. Для проверки зачеркни коэффициенты и сравни оставшиеся переменные вместе с их степенями: объединять можно только одинаковые части. Например, 3ab и −ab подобны, а 3a и −3a² — нет.

Связь с другими темами

Для умножения многочленов нужно знать распределительное свойство: множитель перед скобками умножается на каждое слагаемое внутри. Оно объясняет, почему при раскрытии двух скобок возникают все возможные пары одночленов. Без этого свойства правило умножения многочленов было бы не обосновано.

Также понадобятся умение умножать одночлены, складывать и умножать числа со знаками и приводить подобные слагаемые. Эти действия повторяются при каждом раскрытии скобок, поэтому ошибки в них влияют на весь результат. Полезно выполнять их по порядку и проверять отдельно.

Умножение многочленов используют при преобразовании выражений, разложении выражений на множители и решении уравнений. Например, раскрытие скобок помогает сравнить выражения и привести их к удобному виду. Освоенное правило станет основой для дальнейшей работы с алгебраическими выражениями.

Что запомнить

• Каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго.
• При умножении одночленов перемножают коэффициенты.
• Показатели одинаковых переменных при умножении складывают.
• Знаки произведений нужно учитывать для каждой пары слагаемых.
• После раскрытия скобок приводят подобные слагаемые.
• Ответ обычно записывают в стандартном виде.