"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.
Уравнение с одной переменной — равенство, в котором есть неизвестное число, обозначенное буквой. В зависимости от значения переменной равенство может быть верным или неверным. Корнем называют значение, при котором оно верно, а решить уравнение — значит найти все такие значения или доказать, что их нет. Уравнения упрощают с помощью действий, сохраняющих корни; это помогает решать задачи и готовит к изучению линейных уравнений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение с одной переменной — это равенство, содержащее переменную, например x + 4 = 9. Переменная обозначает число, которое пока неизвестно. Если подставить вместо неё разные числа, равенство иногда будет верным, а иногда — неверным. Это понятие нужно, чтобы записывать задачи о неизвестных величинах и искать подходящие значения.
Корень уравнения — значение переменной, при котором уравнение становится верным равенством. Например, в уравнении x + 4 = 9 числу 5 соответствует верное равенство 5 + 4 = 9. Число, при котором части не равны, корнем не является. Понятие корня помогает отличить подходящее значение от любого другого числа.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет. Иногда корень один, иногда их несколько, а иногда подходящих значений не существует. Поэтому недостаточно получить какое-нибудь число в ходе вычислений: нужно найти все значения, которые делают исходное равенство верным. Решение показывает полный ответ на вопрос, поставленный уравнением.
Равносильные уравнения — это уравнения, имеющие одни и те же корни. Например, x + 3 = 8 и x = 5 равносильны: оба уравнения имеют корень 5. При решении удобно заменять уравнение более простым, но важно не потерять и не добавить корни. Равносильность позволяет быть уверенным, что преобразования сохраняют ответ.
Чтобы проверить, является ли число корнем, его подставляют вместо переменной и вычисляют обе части уравнения. Например, при подстановке числа 3 в 2x + 1 = 7 слева получится 2 · 3 + 1 = 7, то есть 7; справа тоже стоит 7. Части равны, значит, подстановка превратила уравнение в верное равенство. Такой способ проверяет конкретное число, но сам по себе не доказывает, что других корней нет.
Если прибавить к обеим частям уравнения одно и то же выражение, равенство сохранится при тех же значениях переменной. Причина проста: если две величины равны, то после прибавления одинаковой величины они снова равны. Например, из x + 4 = 9 можно вычесть 4 из обеих частей и получить x = 5. Так мы убираем слагаемое рядом с переменной, не меняя корень.
Перенос слагаемого через знак равенства — краткая запись прибавления противоположного выражения к обеим частям. В уравнении x + 4 = 9 прибавляем −4 слева и справа: слева слагаемые 4 и −4 уничтожаются, справа получается 9 − 4. Поэтому при переносе 4 из левой части в правую оно записывается как −4. Если забыть изменить знак, получится уже другое равенство.
Умножение или деление обеих частей на одно и то же ненулевое число сохраняет корни, потому что одинаковое обратимое действие не нарушает равенство. Например, из 2x = 10 делением обеих частей на 2 получаем x = 5. Делить на ноль нельзя: такое действие не определено. Если же делить на выражение с переменной, сначала надо убедиться, что оно не может быть равно нулю, иначе можно потерять подходящий корень.
Эти преобразования позволяют шаг за шагом получить более простое уравнение, равносильное исходному. Сначала можно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, затем перенести слагаемые с переменной в одну часть, а числа — в другую. После этого остаётся разделить на коэффициент при переменной, если он ненулевой. Полученное значение проверяют подстановкой в исходное уравнение, чтобы обнаружить возможную вычислительную ошибку.
| Действие | Условие | Что происходит с корнями |
|---|---|---|
| Прибавить к обеим частям одно и то же число или выражение | Прибавляем одинаковое выражение с обеих сторон | Корни сохраняются |
| Вычесть из обеих частей одно и то же число или выражение | Вычитаем одинаковое выражение с обеих сторон | Корни сохраняются |
| Умножить обе части на одно и то же число | Число должно быть ненулевым | Корни сохраняются |
| Разделить обе части на одно и то же число | Делитель должен быть ненулевым | Корни сохраняются |
| Перенести слагаемое в другую часть, изменив его знак | Это сокращённая запись прибавления противоположного слагаемого | Корни сохраняются |
Пользуйся таблицей, чтобы проверить, допустимо ли выбранное действие и при каком условии оно сохраняет корни. Если действие разрешено, полученное уравнение можно решать дальше как равносильное исходному. Особенно внимательно проверяй делитель: он не должен быть равен нулю.
Задача 1. Проверить, является ли число 3 корнем уравнения 2x + 1 = 7. Нужно не решать уравнение целиком, а проверить указанное значение. Для этого подставим 3 вместо x и отдельно вычислим левую и правую части. Если результаты совпадут, равенство верно.
Ответ: число 3 является корнем уравнения. Подстановка показывает, что оно подходит, но не сообщает, есть ли у уравнения другие корни. Для этого потребовалось бы решить уравнение, а не только проверить одно значение. В этой задаче спрашивали именно о числе 3.
Задача 2. Решить уравнение 5x − 8 = 12. Сначала уберём число −8 из левой части, прибавив 8 к обеим частям. Затем разделим обе части на коэффициент 5 при переменной. На каждом шаге сохраняем равносильность уравнения.
Ответ: x = 4. Проверка даёт равенство 12 = 12, поэтому найденное значение подходит. Поскольку преобразования были равносильными, других корней у уравнения нет. Деление на 5 допустимо, так как это ненулевое число.
Задача 3. Решить уравнение 3(x − 2) + 4 = 2x − 2. Здесь переменная находится в скобках, поэтому сначала раскроем скобки и приведём подобные слагаемые. Затем соберём слагаемые с x в одной части, а числа — в другой. В конце проверим найденное значение подстановкой.
Ответ: x = 0. Обе части исходного уравнения при подстановке равны −2. Значит, найденное значение действительно является корнем. Все преобразования сохраняли корни, поэтому решение завершено.
Считать корнем любое число, полученное в ходе преобразований. Вычислительная ошибка или неверное действие может привести к числу, которое не подходит исходному уравнению. Так происходит, если считать преобразования безошибочными и не проверять результат. Подставь ответ именно в исходное уравнение и сравни обе части.
Переносить слагаемое, не меняя знак. Перенос часто воспринимают как простое перемещение через знак равенства и забывают, что это сокращённая запись действия с обеими частями. В результате записывают неравносильное уравнение. Проверь себя, прибавив к обеим частям выражение, противоположное переносимому слагаемому.
Делить обе части на выражение с переменной, не проверив, может ли оно быть нулём. При таком делении можно исключить значение, которое обращает делитель в ноль, хотя оно могло быть корнем исходного уравнения. Ошибку допускают, когда считают переменное выражение обычным ненулевым числом. До деления реши, при каком значении выражение равно нулю, и проверь, не теряется ли это значение.
Умножать или делить обе части на ноль. Нулевое умножение может превратить разные части в одинаковые нули, поэтому исходная информация о корнях теряется. Деление на ноль вообще не определено. Прежде чем выполнять действие, проверь число, на которое умножаешь или делишь: оно должно быть ненулевым.
Для решения уравнений нужны действия с рациональными числами, то есть числами, которые можно записать в виде дроби, а также умение раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые. Эти навыки помогают упрощать обе части равенства. Уравнение позволяет записывать условие текстовой задачи через неизвестную величину и находить её. Освоенные преобразования станут основой для решения линейных уравнений и систем уравнений, где рассматривают несколько уравнений вместе.
Чем корень уравнения отличается от решения уравнения?
Корень — это отдельное значение переменной, при котором уравнение становится верным равенством. Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
Как проверить, является ли число корнем?
Подставь число вместо переменной в исходное уравнение и вычисли обе части. Если они равны, число является корнем; если не равны — нет.
Почему при переносе слагаемого меняется его знак?
Перенос — это короткая запись действия: к обеим частям уравнения прибавляют число, противоположное переносимому слагаемому. Поэтому слагаемое исчезает в одной части и появляется с противоположным знаком в другой.
Почему нельзя делить обе части уравнения на ноль?
Деление на ноль не определено: нельзя найти число, которое при умножении на ноль даст ненулевое делимое. Поэтому такое действие не является допустимым преобразованием уравнения.
Нужно ли проверять корень подстановкой в исходное уравнение?
Да, проверка помогает убедиться, что вычисления выполнены верно. Подставлять найденное значение нужно именно в исходное уравнение, а не только в его упрощённую запись.
§ 7. Уравнение с одной переменной
