§ 11. Произведение многочленов

Определения и обозначения

Произведение многочленов — результат умножения двух многочленов. Его получают, перемножая каждый член одного многочлена с каждым членом другого, а затем складывая результаты. Например, в произведении (x + 1)(x + 2) должны быть учтены все четыре пары членов. Такое определение помогает понять, что нельзя умножить только первые слагаемые и остановиться.

Умножение многочлена на многочлен — действие, которое сводится к умножению одного многочлена на каждый член другого и последующему сложению полученных многочленов. Например, (a + b)c = ac + bc: множитель c распределяется между слагаемыми в скобках. Это правило позволяет раскрывать произведение скобок, используя уже знакомое распределительное свойство. Если в каждой скобке несколько членов, действие повторяют для всех сочетаний.

Стандартный вид произведения многочленов — запись результата после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых. Подобными называют слагаемые с одинаковой буквенной частью, например 3x и −5x. Их коэффициенты складывают, получая −2x, а разные степени одной переменной, например x и x², объединять нельзя. Стандартный вид удобен тем, что в нём уже выполнены все возможные упрощения.

Как это устроено

Правило умножения многочленов вырастает из распределительного свойства: множитель перед скобками умножается на каждое слагаемое внутри. Если перед скобкой стоит не одно слагаемое, а целый многочлен, распределение выполняют по очереди для каждого его члена. Так получается, что каждый член первого многочлена участвует в произведении с каждым членом второго. Например, для (a + b)(c + d) возникают пары ac, ad, bc и bd.

Каждое слагаемое должно участвовать в умножении, потому что пропуск хотя бы одной пары удаляет часть результата. Удобно считать число пар: если в первой скобке два члена, а во второй три, должно быть 2 · 3 = 6 произведений. Можно записывать пары по строкам: сначала умножить первый член первой скобки на все члены второй, затем второй — тоже на все. Такой порядок помогает проверить полноту записи, даже если члены имеют разные знаки.

Каждое отдельное произведение находят по правилам умножения одночленов. Числовые коэффициенты перемножают, а показатели степеней одинаковых переменных складывают: например, 2x · 3x² = 6x³. Знаки также определяют для каждой пары: плюс на плюс и минус на минус дают плюс, а произведение множителей с разными знаками отрицательно. Поэтому сначала полезно внимательно разобрать знаки, а уже потом собирать результат.

После составления всех произведений раскрывают скобки и записывают полученные слагаемые без пропусков. Затем находят подобные слагаемые и объединяют их, складывая коэффициенты; буквы и их степени при этом сохраняются. Например, 3x + 2x превращается в 5x, но x и x² остаются отдельными слагаемыми. Если записать пары по строкам и привести подобные только после раскрытия всех скобок, легче заметить ошибку.

Проверить вычисления можно подстановкой числового значения вместо переменной. Сначала вычисляют исходное произведение при выбранном значении, а затем — полученный многочлен при том же значении. Равные результаты служат проверкой: обе записи должны обозначать одно и то же число. Одна удачная подстановка не доказывает правильность тождества, поэтому при сомнении стоит проверить ещё одно значение или повторно просмотреть пары множителей.

Умножение многочленов: правило и порядок действий

Таблица задаёт порядок, в котором удобно выполнять умножение: от перечисления всех пар до проверки готового ответа. Не переходите к следующему этапу, пока не убедились, что записаны все произведения. Проверка подстановкой особенно полезна после того, как раскрыты скобки и приведены подобные слагаемые.

Разбор задач

Раскройте скобки: (x + 2)(x + 3).

1. В первой скобке два члена, и во второй тоже два, поэтому ожидаем четыре произведения. Умножаем x на оба члена второй скобки: получаем x² и 3x.
2. Теперь умножаем 2 на каждый член второй скобки: получаем 2x и 6. Записываем все результаты: x² + 3x + 2x + 6.
3. Слагаемые 3x и 2x подобны, поэтому складываем их коэффициенты: 3x + 2x = 5x. Ответ: x² + 5x + 6.

Раскройте скобки и упростите: (2a − 3)(a + 4).

1. Составляем все четыре пары: 2a умножаем на a и на 4, затем −3 умножаем на a и на 4. Так мы не забудем ни один член.
2. Вычисляем: 2a · a = 2a², 2a · 4 = 8a, −3 · a = −3a, −3 · 4 = −12. Последние два произведения отрицательны, потому что в каждой паре множители имеют разные знаки.
3. Собираем результат: 2a² + 8a − 3a − 12. Приводим подобные слагаемые 8a − 3a = 5a; ответ: 2a² + 5a − 12.

Найдите произведение (x² − 2x + 1)(x − 3) и проверьте его подстановкой x = 2.

1. В первой скобке три члена, во второй два, значит, должно получиться шесть произведений. Умножаем x² на оба члена второй скобки: x³ и −3x².
2. Умножаем −2x на x и на −3: получаем −2x² и 6x. Затем умножаем 1 на x и на −3: получаем x и −3.
3. Записываем сумму: x³ − 3x² − 2x² + 6x + x − 3. Объединяем подобные: −3x² − 2x² = −5x², а 6x + x = 7x; произведение равно x³ − 5x² + 7x − 3.
4. Проверяем при x = 2. Исходное выражение даёт (4 − 4 + 1)(2 − 3) = −1, а многочлен — 8 − 20 + 14 − 3 = −1. Значения совпали, значит, проверка подтверждает вычисления.

Типичные ошибки

Умножают только первые члены многочленов и забывают остальные. Так бывает, если воспринимать скобки как отдельные числа, а не как суммы слагаемых. Проверьте себя: при двух членах в каждой скобке должно быть четыре произведения, а не одно. Используйте правило «каждый на каждый» и выпишите все пары.

Пропускают одно из произведений членов, особенно если в скобках много слагаемых. Причина часто в том, что пары перемножают бессистемно и теряют место, на котором остановились. Составьте список по строкам: каждый член первой скобки умножается на все члены второй. Затем сравните количество записанных произведений с числом членов в первой скобке, умноженным на число членов во второй.

Неверно определяют знак произведения, например считают, что −3 · a всегда положительно. Ошибку допускают, если переносят знак из одной пары в другую или ставят общий знак всему результату. Находите знак каждого произведения отдельно: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус. Для самопроверки можно сначала выписать знаки всех пар, а затем выполнить умножение.

Складывают неподобные слагаемые, например заменяют x² + x на 2x². Это происходит, когда ориентируются только на одинаковые буквы, забывая о показателях степеней. Объединять можно лишь слагаемые с полностью одинаковой буквенной частью: x² с x², а x с x. Перед приведением подобного подчеркните одинаковые буквенные части и сложите только их коэффициенты.

Связь с другими темами

Для умножения многочленов нужны распределительное свойство умножения, правила действий с отрицательными числами и умножение одночленов. Без распределительного свойства нельзя обосновать правило «каждый на каждый», а ошибки со знаками меняют слагаемые результата. Поэтому перед раскрытием скобок полезно повторить, как перемножать числа и одночлены. Умножение многочленов пригодится при преобразовании выражений, вычислениях и решении уравнений: оно позволяет заменять произведение скобок суммой слагаемых.

Что запомнить

• Каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго.
• При умножении одночленов коэффициенты перемножают, а степени одинаковых переменных складывают.
• Знаки произведений определяют отдельно для каждой пары членов.
• После раскрытия скобок приводят только подобные слагаемые.
• Проверить результат можно подстановкой числового значения переменной.