§ 11. Произведение многочленов

Определения и обозначения

Многочлен — это выражение, состоящее из суммы одночленов, например 2x² − 3x + 1. Одночлен — произведение чисел и переменных, например 4x или −2a²b. Перед умножением удобно записать многочлен в стандартном виде: раскрыть уже имеющиеся скобки и привести подобные слагаемые. Так легче увидеть все его члены и не пропустить ни один из них.

Произведение многочленов — результат умножения двух многочленов. Например, выражение (x + 1)(x + 2) после умножения можно представить в виде одного многочлена: x² + 3x + 2. Это нужно, чтобы упростить запись и затем выполнять с выражением другие действия, например решать уравнение.

Умножение многочлена на многочлен — действие, при котором каждый одночлен одного многочлена умножают на каждый одночлен другого. Если в скобках по два слагаемых, нужно получить четыре произведения одночленов, а затем сложить их. Такое правило помогает представить умножение сумм как обычное сложение результатов.

Как это устроено

Правило умножения многочленов получается из распределительного свойства: a(b + c) = ab + ac. Оно говорит, что множитель перед скобкой действует на каждое слагаемое внутри неё. Если умножить на сумму и другое выражение, то сначала можно раскрыть одну сумму, а затем применить это же свойство ещё раз. Поэтому умножение суммы на сумму сводится к нескольким умножениям одночленов.

Каждый член первого многочлена должен встретиться с каждым членом второго, иначе произведение будет найдено не полностью. Например, в (a + b)(c + d) множитель a умножается и на c, и на d, а множитель b — также на c и на d. Получаются ac, ad, bc и bd. Если забыть, например, bd, в ответе не будет части исходного произведения.

Рабочий алгоритм состоит из трёх действий: перемножить все пары одночленов, раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. При умножении одночленов перемножают числовые коэффициенты, а одинаковые переменные записывают с нужной степенью: x · x = x². Например, (x + 2)(x + 3) даёт x² + 3x + 2x + 6. После этого слагаемые 3x и 2x можно сложить.

Знак каждого полученного слагаемого зависит от знаков множителей в его паре. Если знаки одинаковые, произведение положительное, а если разные — отрицательное; коэффициенты при этом перемножают отдельно. Так, (−2x) · 3 = −6x, а (−2x) · (−3) = 6x. Проверяйте знак у каждой пары, а не у всего выражения сразу.

Порядок множителей можно менять: произведение ab равно ba, поэтому можно выбрать удобный порядок вычислений. Слагаемые тоже можно группировать, например сначала записать все произведения с x, а затем свободные числа. Однако удобная группировка не отменяет главного условия: каждый член одной скобки должен быть умножен на каждый член другой. После группировки приведите только подобные слагаемые.

Умножение многочленов: шаги и контроль

Используйте таблицу как маршрут: переходите к следующему шагу, когда проверили предыдущий. Особенно полезно пересчитать пары одночленов и отдельно проверить знаки до приведения подобных. Если в результате появились слагаемые с разными степенями, не складывайте их.

Разбор задач

Задача 1. Выполните умножение: 3x(2x − 5). Здесь одночлен 3x умножается на двучлен в скобках. Нужно применить его к обоим слагаемым, а не только к первому.

1. Умножаем 3x на первое слагаемое: 3x · 2x = 6x². Коэффициенты 3 и 2 дают 6, а x · x = x².
2. Умножаем 3x на второе слагаемое: 3x · (−5) = −15x. Произведение положительного и отрицательного чисел отрицательно.
3. Записываем результаты вместе: 6x² − 15x. Слагаемые не подобны, потому что у них разные степени x, поэтому сложить их нельзя.

Ответ: 6x² − 15x.

Задача 2. Выполните умножение: (x + 4)(x + 2). В каждой скобке по два слагаемых, значит, нужно получить четыре произведения. Затем можно будет объединить слагаемые с x.

1. Перемножаем каждую пару: x · x = x², x · 2 = 2x, 4 · x = 4x и 4 · 2 = 8. Так мы учитываем оба слагаемых каждой скобки.
2. Записываем сумму результатов: x² + 2x + 4x + 8. Все знаки положительные, потому что перемножаются положительные слагаемые.
3. Приводим подобные: 2x + 4x = 6x. Слагаемые x² и 8 имеют другую буквенную часть, поэтому остаются без изменений.

Ответ: x² + 6x + 8.

Задача 3. Упростите выражение: (2x − 3)(x + 5) − (x − 1)(x + 2). Сначала раскроем каждую пару скобок отдельно. Перед вторым произведением стоит минус: он относится ко всему результату второго умножения, поэтому его нужно учесть до приведения подобных.

1. Раскрываем первую пару: 2x · x + 2x · 5 − 3 · x − 3 · 5 = 2x² + 10x − 3x − 15 = 2x² + 7x − 15. Внутри первой пары объединяем только слагаемые с x.
2. Раскрываем вторую пару: x · x + x · 2 − 1 · x − 1 · 2 = x² + 2x − x − 2 = x² + x − 2. Теперь перед скобками стоит минус, поэтому вычитаем весь полученный многочлен.
3. Записываем 2x² + 7x − 15 − (x² + x − 2) и меняем знаки всех слагаемых во второй скобке: 2x² + 7x − 15 − x² − x + 2. Затем приводим подобные: x² + 6x − 13.

Ответ: x² + 6x − 13.

Типичные ошибки

Умножают только первые слагаемые в скобках и забывают остальные пары. Так происходит, если не записать список произведений и сразу перейти к ответу. Проверьте число пар: если в обеих скобках по два слагаемых, произведений должно быть четыре.

Неверно определяют знак произведения, особенно когда оба множителя отрицательные. Ошибка возникает, если учитывать знак только одного множителя или переносить знак из соседнего слагаемого. Проверяйте каждую пару отдельно: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус.

При умножении на отрицательное число теряют минус у одного из членов скобки. Причина — множитель применяют только к первому слагаемому. Чтобы проверить себя, поставьте его рядом с каждым членом и выполните умножение по очереди: например, −2(x − 3) = −2x + 6.

Складывают слагаемые с разными степенями переменной, например x и x². Их считают похожими из-за общей буквы, но буквенная часть и степень у них различаются. Перед сложением сравните обе части слагаемых: объединять можно только одинаковые переменные в одинаковых степенях.

Связь с другими темами

Для умножения многочленов нужны распределительное свойство, правила знаков и умножение одночленов: на них строится каждый шаг раскрытия скобок. Этот навык затем пригодится при преобразовании алгебраических выражений и применении формул сокращённого умножения. Раскрывать скобки нужно и при решении уравнений, а также задач, в которых выражение сначала требуется упростить.

Что запомнить

• Каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго.
• Умножение многочленов основано на распределительном свойстве.
• Знаки произведений определяют по правилам умножения целых чисел.
• После раскрытия скобок приводят подобные слагаемые.
• Слагаемые с разными степенями переменной не являются подобными.
• Перед ответом полезно проверить, что ни одна пара слагаемых не пропущена.