"Алгебра", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить одночлен на каждый член многочлена и сложить полученные произведения с учётом знаков. Это правило следует из распределительного свойства умножения и помогает раскрывать скобки и упрощать алгебраические выражения. При вычислениях перемножают коэффициенты, складывают показатели степеней одинаковых переменных, а в конце при необходимости приводят подобные слагаемые.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Одночлен — это число, переменная или произведение чисел и переменных, например 5x²y. В стандартном виде числовой множитель, называемый коэффициентом, записывают перед буквами, а степени одинаковых переменных объединяют. Например, 2x · 3x² можно записать как 6x³. Стандартная запись помогает быстро умножать одночлены и сравнивать их.
Многочлен состоит из одночленов, соединённых знаками сложения или вычитания. Например, 3x² − 2x + 5 — многочлен из трёх членов. При раскрытии скобок каждый такой член будет умножаться на стоящий перед скобками одночлен. Поэтому полезно сначала видеть все слагаемые и их знаки.
Произведение одночлена и многочлена — выражение, в котором один одночлен умножается на сумму или разность одночленов. Например, в записи 2x(3x − 4) одночлен 2x умножается на многочлен 3x − 4. Результат можно получить, раскрыв скобки. Это позволяет преобразовать выражение к виду без скобок.
Распределительное свойство умножения выражается формулой a(b + c) = ab + ac. Она означает, что множитель a умножается отдельно на каждое слагаемое в скобках. Для разности действует аналогичное правило: a(b − c) = ab − ac. Именно это свойство лежит в основе умножения одночлена на многочлен.
Для суммы двух слагаемых распределительное свойство даёт a(b + c) = ab + ac. Если в скобках больше слагаемых, можно сначала применить это правило к двум из них, а затем продолжить для остальных. Например, a(b + c + d) = ab + ac + ad. Значит, при умножении на многочлен отдельное слагаемое не может остаться без множителя.
Одночлен умножают на каждый член скобок, потому что скобки объединяют все слагаемые в одну сумму или разность. Знаки между ними задают, как эти части входят в выражение, и при раскрытии скобок их нужно учитывать. Если пропустить одно слагаемое, получится произведение только части многочлена, а не всего выражения. Удобно вести вычисление по порядку слева направо и сразу записывать знак каждого результата.
Чтобы умножить одночлен на отдельный член многочлена, сначала перемножают числовые коэффициенты. Затем переменные с одинаковыми основаниями записывают с общей степенью, складывая показатели: x² · x³ = x⁵. Например, 2x · 3x² = (2 · 3)(x · x²) = 6x³. Если переменная встречается только в одном множителе, её степень просто сохраняется.
Знак результата зависит от знаков обоих множителей. Отрицательный одночлен нужно умножить на каждое слагаемое, причём произведение отрицательного и положительного имеет знак минус, а двух отрицательных — плюс. Поэтому −2x(x − 3) = −2x² + 6x: первое произведение отрицательное, второе положительное. Если перед скобками стоит только минус, его можно понимать как умножение на −1.
После раскрытия скобок иногда появляются подобные слагаемые — слагаемые с одинаковой буквенной частью и одинаковыми степенями переменных. Их коэффициенты складывают или вычитают, а буквенную часть оставляют прежней. Например, после раскрытия выражения x(x + 2) + 3x получаются x² + 2x + 3x, затем 2x + 3x объединяют. Если подобных слагаемых нет, дополнительное упрощение не требуется.
Таблица показывает, какой приём выбрать для разных случаев. Сначала определите, сколько членов в скобках и какие у них знаки, затем умножьте на каждый член отдельно. После этого проверьте степени и объедините подобные слагаемые, если они есть.
| Что выполняем | Правило | Пример |
|---|---|---|
| Умножение на сумму | a(b + c) = ab + ac | 3x(x + 2) = 3x² + 6x |
| Умножение на разность | a(b − c) = ab − ac | 2a(3a − 4) = 6a² − 8a |
| Умножение одночлена на одночлен | Перемножить коэффициенты и сложить показатели степеней одинаковых переменных | 2x · 3x² = 6x³ |
| Знак результата | Учитывать знаки множителей при умножении каждого слагаемого | −2x(x − 3) = −2x² + 6x |
| Завершение преобразования | Раскрыть скобки и при необходимости привести подобные слагаемые | x(x + 2) + 3x = x² + 5x |
Задача 1. Раскройте скобки: 3x(x + 4).
В скобках два слагаемых: x и 4, поэтому нужно составить два произведения с множителем 3x. В первом произведении переменная x умножается на x, во втором остаётся числовое слагаемое 4. Затем записываем результат со знаками исходных слагаемых.
Ответ: 3x² + 12x. Проверка: в скобках было два члена, и в результате есть два соответствующих произведения.
Задача 2. Раскройте скобки: −2a(3a − 5b + 1).
Множитель −2a отрицательный, а в скобках три члена. Умножаем его на каждый из них по порядку и каждый раз отдельно определяем знак произведения. Важно не менять знак механически у всей скобки: знак зависит от конкретного слагаемого и отрицательного множителя.
Ответ: −6a² + 10ab − 2a. Слагаемые не подобны, поэтому объединять их нельзя.
Задача 3. Упростите выражение: 2x(x − 3) − x(x + 4) + 5x.
Здесь есть два произведения со скобками и ещё одно слагаемое 5x. Сначала раскрываем каждую скобку, не забывая, что перед второй скобкой стоит множитель −x. Затем собираем слагаемые с одинаковой буквенной частью; x² и x подобными не являются.
Ответ: x² − 5x. Подобные слагаемые объединены только после раскрытия скобок.
Умножают одночлен только на первое слагаемое в скобках. Так бывает, когда скобки воспринимают как указание выполнить одно умножение, а не как сумму целиком. Чтобы проверить себя, пересчитайте члены внутри скобок и убедитесь, что для каждого записано произведение с одночленом.
Теряют знак одного из слагаемых при раскрытии скобок. Особенно часто это происходит, если перед скобками стоит отрицательный одночлен: знаки произведений нужно определять по отдельности. Проверьте каждый результат правилом знаков и сравните количество полученных членов с количеством исходных слагаемых.
При умножении степеней одинаковой переменной перемножают показатели, например записывают x² · x³ как x⁶. Показатели складывают, потому что степени обозначают повторяющиеся множители: всего получается пять множителей x. Для проверки раскройте степени: x² · x³ = x · x · x · x · x = x⁵.
Пытаются привести подобные слагаемые до раскрытия скобок или объединяют неподобные. Так можно потерять часть выражения или неверно изменить коэффициенты. Сначала выполните умножение и запишите все члены без скобок, затем сравните их буквенные части и объедините только совпадающие.
Для этой темы нужны стандартный вид одночлена и правила умножения одночленов: без них трудно правильно вычислять отдельные произведения. Также пригодится приведение подобных слагаемых, которое выполняют после раскрытия скобок. Распределительное свойство используется дальше при умножении многочленов и упрощении более сложных алгебраических выражений. Освоив его, легче переходить от выражений со скобками к удобной для вычислений записи.
Почему одночлен нужно умножать на каждое слагаемое в скобках?
Скобки обозначают сумму или разность всех входящих в них слагаемых. По распределительному свойству множитель относится ко всей сумме, поэтому его нужно умножить на каждый член.
Что происходит со знаками при умножении на отрицательный одночлен?
Знак каждого произведения определяют по знакам множителей: произведение слагаемого на отрицательный одночлен меняет знак. Например, −2a(3a − 5b) = −6a² + 10ab.
Как перемножать степени одной и той же переменной?
Если основания степеней одинаковые, показатели складывают: xᵐ · xⁿ = xᵐ⁺ⁿ. Например, x² · x³ = x⁵, а не x⁶.
Нужно ли приводить подобные слагаемые сразу после раскрытия скобок?
Сначала раскройте скобки и запишите все полученные слагаемые. Затем объедините подобные — те, у которых одинаковая буквенная часть и степени переменных.
Как проверить, что скобки раскрыты правильно?
Проверьте, что множитель умножен на каждый член скобок и знаки учтены верно. Для дополнительной проверки можно подставить вместо переменных числа и сравнить значения исходного и полученного выражений.
§ 10. Произведение одночлена и многочлена
