"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Произведение одночлена и многочлена получают, умножая одночлен на каждый член многочлена и складывая результаты. Это действие помогает раскрывать скобки, упрощать выражения и решать уравнения. Коэффициенты перемножают, показатели степеней одинаковых букв складывают, а знаки сохраняют по правилам умножения. После раскрытия скобок при необходимости приводят подобные одночлены.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Произведение одночлена и многочлена — результат умножения одночлена на каждый член многочлена с последующим сложением полученных произведений. Например, в выражении 3x(2x + y − 4) множитель 3x нужно применить ко всем трём членам. Это определение задаёт порядок действий и не позволяет потерять часть выражения.
Распределительное свойство умножения — правило, по которому множитель умножается на сумму или разность всех слагаемых: a(b + c) = ab + ac и a(b − c) = ab − ac. Благодаря ему скобки можно раскрыть, превратив одно действие с многочленом в несколько простых умножений.
Коэффициент произведения — число, полученное при умножении коэффициента одночлена на коэффициент соответствующего члена многочлена. Например, в произведении 3x · 2x² коэффициент равен 3 · 2 = 6. Знаки также входят в это вычисление: (−2) · (−5) = 10.
Приведение подобных одночленов — объединение слагаемых с одинаковой буквенной частью после раскрытия скобок. Складываются или вычитаются только коэффициенты, а буквенная часть сохраняется. Это нужно, чтобы записать полученное выражение короче и привести его к упрощённому виду.
Многочлен представляет собой сумму или разность нескольких одночленов. Умножение на сумму означает, что один и тот же множитель добавляется столько раз, сколько слагаемых находится в сумме: 3 · (2 + 5) = 3 · 2 + 3 · 5. Поэтому одночлен перед скобками должен попасть к каждому члену многочлена, а не только к первому.
Распределительное свойство объясняет формулу a(b + c + d) = ab + ac + ad: сначала можно заменить многочлен последовательным сложением, а затем распределить умножение на каждое слагаемое. Для разности действует та же идея, только вычитаемый член сохраняет знак минус: a(b − c) = ab − ac. Если перед скобками стоит отрицательный множитель, его знак участвует в умножении каждого результата.
Каждое отдельное произведение вычисляют по правилам умножения одночленов. Коэффициенты перемножают, а степени одинаковых переменных объединяют сложением показателей: xᵐ · xⁿ = xᵐ⁺ⁿ. Например, 4a² · (−3a⁵b) = −12a⁷b, потому что 4 · (−3) = −12, а 2 + 5 = 7.
Обычно после раскрытия скобок получается столько слагаемых, сколько членов было в многочлене. Это происходит потому, что для каждого исходного члена выполняется отдельное умножение. Число слагаемых может уменьшиться, если некоторые результаты окажутся подобными и объединятся.
После раскрытия скобок нужно проверить буквенные части всех слагаемых. Если они одинаковы, складывают коэффициенты, например 5xy − 2xy = 3xy. Слагаемые 5x и 2xy объединять нельзя: наличие дополнительной буквы y делает их разными одночленами.
| Ситуация | Действие | Общий вид | Пример результата |
|---|---|---|---|
| Сумма двух или нескольких членов | Умножить одночлен на каждый член многочлена и сложить результаты | a(b + c + d) = ab + ac + ad | 3x(2x + y − 4) = 6x² + 3xy − 12x |
| Разность членов | Умножить одночлен на каждый член, сохраняя знаки слагаемых | a(b − c) = ab − ac | −2a(3a − 5b) = −6a² + 10ab |
| Отрицательный одночлен | Учитывать знак одночлена при умножении каждого члена | −a(b + c) = −ab − ac | −4x(2x − 3) = −8x² + 12x |
| Появление подобных слагаемых | После раскрытия скобок привести подобные одночлены | ab + 2ab = 3ab | 2x(x + 3) − x² = x² + 6x |
Пользуйтесь таблицей как кратким алгоритмом: сначала определите знаки и умножьте внешний одночлен на каждый член в скобках. Затем проверьте коэффициенты и степени. В конце приведите подобные слагаемые, если они появились.
Здесь одночлен 3x умножается на трёхчлен, поэтому нужно получить три произведения. В каждом из них отдельно работают с коэффициентами и степенями x. Знаки членов скобок переписываются без изменений, если внешний множитель положительный.
Ответ: 6x³ − 15x² + 12x.
Сначала раскрываем скобки, не забывая, что множитель −2a отрицательный. Затем ищем подобные слагаемые: после умножения появится −6a², которое можно объединить с вынесенным за скобки +6a². Остальные слагаемые имеют другие буквенные части и остаются без изменений.
Ответ: 8ab − 10a.
Сначала раскроем скобки и посмотрим, какие слагаемые можно сократить. Это удобно, потому что одинаковые выражения с противоположными коэффициентами исчезнут, и уравнение станет линейным. После упрощения останется найти x обычным делением.
Ответ: x = −5/3.
Умножают только на первый член. Так происходит, когда забывают смысл распределительного свойства. Проверьте себя: число полученных промежуточных произведений обычно должно совпадать с числом членов в скобках.
Теряют знаки второго и следующих членов. При спешке минус перед слагаемым не переписывают или считают его дважды. Записывайте каждый член вместе со знаком и отдельно определяйте знак результата.
Неправильно работают со степенями. Иногда показатели складывают между разными буквами или перемножают вместо сложения. Применяйте правило xᵐ · xⁿ = xᵐ⁺ⁿ только к степеням одинаковых оснований.
Не приводят подобные слагаемые. Раскрытие скобок считают последним шагом и оставляют выражение громоздким. Сравните буквенные части: объединять можно только одночлены с полностью одинаковыми буквами и показателями.
Перед изучением темы нужны понятия одночлена и многочлена, распределительное свойство, правила умножения степеней с одинаковыми основаниями и приведение подобных слагаемых. Эти знания позволяют раскрывать скобки без механического заучивания.
Умножение одночлена на многочлен используется при разложении многочленов на множители, преобразовании алгебраических выражений и решении уравнений. Уверенное раскрытие скобок помогает быстрее замечать сокращающиеся и подобные слагаемые.
Почему нельзя умножить одночлен только на первый член многочлена?
Многочлен является суммой или разностью нескольких членов, поэтому распределительное свойство требует умножить одночлен на каждый из них. Если взять только первый член, остальные слагаемые выражения потеряются.
Как не ошибиться в знаках при умножении на многочлен с разностью?
Сначала перепишите каждый член многочлена вместе с его знаком, а затем умножайте по очереди. Знак результата определяйте по правилу знаков: например, −2a · (−5b) = +10ab.
Что делать, если после раскрытия скобок появились подобные слагаемые?
Нужно найти слагаемые с одинаковой буквенной частью и сложить их коэффициенты. Например, 4ab − ab = 3ab, а 4a и 4ab подобными не являются.
Как перемножать степени одинаковых букв в каждом слагаемом?
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают: xᵐ · xⁿ = xᵐ⁺ⁿ. Например, 3x² · 4x³ = 12x⁵.
Можно ли выполнять умножение многочлена на одночлен в обратном порядке?
Да, можно: от перестановки множителей произведение не меняется. Поэтому a(b + c) и (b + c)a дают один и тот же результат после раскрытия скобок.
5.5. Произведение одночлена и многочлена
