"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.
Одночлен на многочлен умножают, распределяя множитель на каждое слагаемое в скобках. Затем перемножают числовые коэффициенты, а показатели степеней одинаковых переменных складывают. Знаки произведений определяют по правилам умножения, а полученные слагаемые при необходимости упрощают. Это преобразование помогает раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые и решать уравнения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Одночлен — это произведение чисел и переменных, возведённых в неотрицательные целые степени. Например, 4x²y и −3a — одночлены. Числовой множитель одночлена называют коэффициентом: в выражении −3a коэффициент равен −3. Это понятие нужно, чтобы отдельно выполнять действия с числами и с переменными.
Многочлен — сумма одночленов, например 2x² − 3x + 5. Каждый одночлен в такой сумме является слагаемым многочлена, причём перед ним может стоять знак плюс или минус. Поэтому многочлен удобно рассматривать как несколько отдельных слагаемых. При умножении на одночлен каждое из них обрабатывают по отдельности.
Произведение одночлена и многочлена — выражение, которое преобразуют с помощью распределительного свойства умножения относительно сложения. Например, запись a(b + c) означает, что множитель a относится ко всей сумме в скобках, а не только к одному её члену. Преобразование заменяет такую запись суммой произведений. Оно нужно, чтобы раскрывать скобки и дальше упрощать выражения.
Правило умножения следует из распределительного свойства: чтобы умножить a на сумму b + c, нужно сложить произведения ab и ac. Для суммы из большего числа слагаемых действует тот же принцип: множитель распределяется на каждый член. Например, k(m + n + p) = km + kn + kp. Так равенство сохраняется: мы не меняем значение выражения, а лишь записываем его в другой форме.
Для каждого слагаемого сначала нужно найти произведение двух одночленов. Числовые коэффициенты перемножают, а одинаковые переменные записывают как одну степень. Это возможно потому, что умножение степеней с одним основанием означает сложение одинаковых множителей: xᵐ · xⁿ = xᵐ⁺ⁿ. Например, 2x · 3x² = 6x³; для переменных с разными основаниями такой приём не применяется.
Одночлен умножают на все слагаемые многочлена, двигаясь по скобкам по порядку. Знак каждого результата зависит от знаков обоих множителей: произведение двух отрицательных множителей положительно, а произведение множителей разных знаков отрицательно. Поэтому минус перед слагаемым нельзя терять, а отрицательный множитель действует на весь многочлен. Удобно мысленно повторять множитель перед каждым членом.
После умножения скобки раскрывают: записывают сумму полученных одночленов и выполняют вычисления в каждом из них. Если в результате есть слагаемые с одинаковой буквенной частью, их можно объединить, сложив коэффициенты. Например, 2x + 5x = 7x, а 2x + 5x² объединить нельзя. Такой порядок помогает не смешивать умножение со сложением и делает итоговую запись понятной.
Преобразование можно проверить, снова вынеся общий множитель за скобки: при правильном раскрытии должна восстановиться исходная запись. Ещё один способ — подставить одно и то же число вместо переменной в исходное выражение и в полученный результат. Если значения отличаются, вероятно, допущена ошибка в знаке или умножении. Совпадение при одной подстановке служит проверкой, но надёжнее дополнительно проверить само раскрытие скобок.
| Что умножаем | Действие | Результат |
|---|---|---|
| Одночлен и сумма двух слагаемых | Умножить одночлен на каждое слагаемое | Сложить полученные произведения |
| Одночлен и многочлен из нескольких слагаемых | Умножить одночлен на каждое слагаемое по очереди | Записать сумму произведений |
| Коэффициенты и одинаковые переменные | Коэффициенты перемножить, показатели степеней одинаковых переменных сложить | Получить одночлен для каждого слагаемого |
Пользуйся таблицей по порядку: сначала проверь, сколько слагаемых в многочлене, затем умножь на каждое из них. При вычислении отдельного произведения действуй с коэффициентами и одинаковыми переменными. В конце запиши сумму результатов и проверь знаки.
В скобках два слагаемых, поэтому умножитель 3x нужно распределить на оба: 3x · 2x и 3x · 5. Так мы применяем распределительное свойство и не пропускаем часть суммы.
В первом произведении умножаем коэффициенты 3 и 2, а показатели у x складываем: 3x · 2x = 6x². Во втором произведении получаем 3x · 5 = 15x.
Записываем два результата как сумму: 6x² + 15x. Слагаемые не являются подобными, потому что у них разные степени x, поэтому объединить их нельзя.
Ответ: 6x² + 15x.
Умножитель −2a относится ко всем трём слагаемым. Записываем произведения: (−2a) · 3a², (−2a) · (−4a) и (−2a) · 1. Это помогает сохранить знаки каждого члена.
В первом произведении получаем −6a³: коэффициенты дают −6, а показатели a складываются. Во втором произведении знаки обоих множителей отрицательные, поэтому результат положительный: 8a². В третьем получаем −2a.
Записываем результаты подряд, сохраняя найденные знаки: −6a³ + 8a² − 2a. Подобных слагаемых здесь нет: степени переменной различаются, значит, дальнейшее объединение не требуется.
Ответ: −6a³ + 8a² − 2a.
Раскрываем первую скобку, умножая 2x на каждый член: 6x³ − 2x² + 8x. Во второй части множитель −x уже стоит перед скобками, поэтому сразу учитываем его знак: −2x³ − 5x.
Складываем полученные выражения: 6x³ − 2x² + 8x − 2x³ − 5x. Приводим подобные слагаемые: 6x³ − 2x³ = 4x³, а 8x − 5x = 3x. Получаем 4x³ − 2x² + 3x.
Подставляем x = −1 в результат: 4 · (−1)³ − 2 · (−1)² + 3 · (−1) = −4 − 2 − 3 = −9. Проверим исходное выражение: 2 · (−1) · (3 + 1 + 4) − (−1) · (2 + 5) = −16 + 7 = −9. Значения совпали.
Ответ: 4x³ − 2x² + 3x; при x = −1 значение равно −9.
Умножают одночлен только на первое слагаемое и забывают остальные. Так бывает, если воспринимать скобки как отдельное число, а не как сумму членов; из-за этого значение выражения меняется. Проверь себя: посчитай слагаемые в скобках и убедись, что для каждого записано произведение с одночленом.
Теряют слагаемое со знаком минус или неверно меняют его знак. Часто знак считают частью скобок и не включают в умножение, хотя он относится к слагаемому. Проверь каждое произведение отдельно: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус. Можно явно переписать минус как множитель −1.
При умножении степеней одинаковых переменных показатели перемножают, например пишут x² · x³ = x⁶. Ошибка возникает из-за смешения правил умножения и возведения степени в степень. Здесь нужно сложить показатели: x² · x³ = x⁵. Для проверки разверни степени в повторное умножение: x · x · x · x · x.
Складывают показатели у разных переменных или объединяют неподобные слагаемые. Показатели складываются только у степеней с одинаковым основанием, а складывать можно только слагаемые с одинаковой буквенной частью. Например, x²y и xy² не подобны, как и x² и x. Сверь переменные и их показатели в каждом слагаемом, прежде чем что-либо объединять.
Для раскрытия скобок нужны распределительное свойство умножения относительно сложения и правила знаков при умножении. Также нужно уметь умножать одночлены, в том числе степени с одинаковым основанием. Это продолжает работу с выражениями: раскрытые скобки помогают приводить подобные слагаемые и преобразовывать многочлены. Такие преобразования встречаются и при решении уравнений.
Почему одночлен нужно умножать на каждое слагаемое в скобках?
Так работает распределительное свойство умножения относительно сложения: a(b + c) = ab + ac. Если умножить только на часть суммы, значение выражения изменится. Поэтому множитель относится ко всем слагаемым в скобках.
Что происходит со знаком слагаемого при умножении на отрицательный одночлен?
Знак каждого произведения определяется знаками обоих множителей. Отрицательный одночлен меняет знак положительного слагаемого на минус, а отрицательного — на плюс. Нужно умножить его на каждое слагаемое отдельно.
Как умножать одночлены с одинаковыми переменными?
Перемножьте их коэффициенты, а показатели степеней одинаковой переменной сложите: xᵐ · xⁿ = xᵐ⁺ⁿ. Например, 2x · 3x² = 6x³. Для разных переменных показатели не складывают.
Нужно ли сразу приводить подобные слагаемые после раскрытия скобок?
Сначала раскройте скобки и выполните умножение каждого слагаемого. Затем можно привести подобные слагаемые — те, у которых одинаковая буквенная часть. Если таких слагаемых нет, результат уже можно оставить как сумму одночленов.
Как проверить, что скобки раскрыты правильно?
Можно вынести общий одночлен за скобки и проверить, что исходное выражение получилось снова. Также подставьте одно и то же число вместо переменной в исходное выражение и в результат: значения должны совпасть. Проверка подстановкой полезна, но сама по себе не заменяет правильного преобразования.
§ 10. Произведение одночлена и многочлена
