"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Произведение многочленов — многочлен, который получается при умножении двух многочленов. Чтобы его найти, каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго, а затем складывают полученные произведения. Такой способ основан на распределительном законе. После раскрытия скобок нужно привести подобные слагаемые и записать ответ в стандартном виде. Умение умножать многочлены помогает преобразовывать выражения и решать уравнения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Произведение многочленов — многочлен, полученный в результате умножения двух многочленов. Например, результат умножения (x + 1) и (x + 2) тоже является многочленом: x² + 3x + 2. Это понятие нужно, чтобы обозначать итог преобразования, а не только запись со скобками.
Умножение многочленов — действие, при котором каждый член одного многочлена умножают на каждый член другого. Членами называют слагаемые, из которых составлено выражение, например 2x и −3 в многочлене 2x − 3. Такое правило помогает не пропустить ни одно произведение.
Распределительный закон умножения — правило, позволяющее умножать сумму на число, одночлен или другую сумму. Например, a(b + c) = ab + ac: множитель a относится к обоим слагаемым. Закон служит основанием для раскрытия скобок и превращает умножение многочленов в набор простых умножений.
Раскрытие скобок — преобразование выражения, при котором умножение распределяют по всем слагаемым внутри скобок. Так из 3(x + 2) получается 3x + 6. Этот приём позволяет увидеть отдельные одночлены, а затем привести подобные слагаемые и упростить выражение.
Произведение многочленов находят с помощью распределительного закона, потому что многочлен является суммой своих членов. При умножении двух сумм каждый член первой суммы можно рассматривать как множитель всей второй суммы. Затем закон применяется ещё раз внутри этой суммы. Поэтому в результате должны появиться произведения всех возможных пар членов, а не только одной или нескольких выбранных пар.
Из этого правила получается простой алгоритм. Сначала выписывают члены двух многочленов и составляют все пары: один член из первого выражения и один из второго. Затем перемножают одночлены в каждой паре, отдельно следя за коэффициентами, переменными и знаками. После этого складывают полученные произведения, потому что распределительный закон заменяет умножение сумм именно суммой отдельных произведений.
Число слагаемых до приведения подобных можно заранее определить. Если в первом многочлене m членов, а во втором n, получится m · n попарных произведений: каждый из m членов встретится с каждым из n. Например, при умножении трёхчлена на двучлен сначала возникает шесть произведений. Некоторые из них могут оказаться подобными и объединиться, поэтому в окончательном ответе слагаемых иногда будет меньше.
После раскрытия скобок одинаковые по буквенной части слагаемые приводят к одному. Для этого складывают их коэффициенты, сохраняя переменную и её степень: 2x² + 5x² = 7x². Степени здесь не складываются, потому что выполняется сложение подобных слагаемых, а не умножение степеней. В стандартном виде члены обычно располагают по убывающим степеням переменной, чтобы ответ было легче читать и сравнивать.
Готовый результат можно проверить двумя способами. По свойству перестановки множителей произведение не меняется, поэтому можно поменять многочлены местами и повторить вычисление; расхождение укажет на пропуск или ошибку в знаке. Также можно подставить одно число вместо переменной в исходное выражение и в полученный ответ. Если значения различаются, преобразование выполнено неверно, хотя совпадение при одной подстановке само по себе не заменяет проверку вычислений.
| Случай | Что сделать | Общий вид | Что выполнить после умножения |
|---|---|---|---|
| Одночлен умножить на многочлен | Умножить одночлен на каждый член многочлена | a(b + c + d) = ab + ac + ad | Привести подобные слагаемые, если они появились |
| Двучлен умножить на двучлен | Каждый член первого двучлена умножить на каждый член второго | (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd | Привести подобные слагаемые |
| Многочлен умножить на многочлен | Последовательно применить распределительный закон ко всем членам | (a + b + c)(d + e) = ad + ae + bd + be + cd + ce | Собрать подобные слагаемые и упорядочить результат |
| Произведение с отрицательными членами | Учитывать знаки при умножении одночленов | (a − b)(c − d) = ac − ad − bc + bd | Проверить знаки и привести подобные слагаемые |
Сначала найди в таблице случай, который подходит к выражению, и выполни все указанные попарные умножения. Затем проверь знаки и приведи подобные слагаемые, если они есть. Последний шаг — записать многочлен в удобном стандартном порядке.
Задача 1. Раскройте скобки и упростите: 3x(2x² − 5x + 4). Здесь перед скобками стоит одночлен, поэтому его нужно умножить на каждый член многочлена. Полученные одночлены уже имеют разные степени x, значит, подобные слагаемые не объединятся.
Располагаем слагаемые по убывающим степеням переменной: 6x³ − 15x² + 12x. Подобных слагаемых здесь нет. Ответ: 6x³ − 15x² + 12x.
Задача 2. Раскройте скобки и упростите: (2x − 3)(x + 5). В обеих скобках по два члена, поэтому нужно получить четыре попарных произведения. Особенно внимательно следим за членом −3: он умножается и на x, и на 5.
Члены расположены по убыванию степеней, а слагаемые с x приведены. Ответ: 2x² + 7x − 15.
Задача 3. Выполните умножение: (x² − 2x + 3)(2x² + x − 4). В первом многочлене три члена, во втором тоже три, следовательно, до упрощения должно появиться девять произведений. Удобно умножить каждый член первого многочлена на всю вторую скобку.
Собираем слагаемые: 2x⁴ + x³ − 4x² − 4x³ − 2x² + 8x + 6x² + 3x − 12. Приводим подобные: x³ − 4x³ = −3x³, а −4x² − 2x² + 6x² = 0; также 8x + 3x = 11x. Ответ: 2x⁴ − 3x³ + 11x − 12.
При умножении двух скобок иногда перемножают только первые члены или только «внешние» члены. Так происходит, если пытаться применить правило по памяти, не проверяя пары; оставшиеся произведения исчезают из решения. Составь список всех пар или посчитай их заранее: у двучлена и двучлена должно быть четыре произведения. Если их меньше, раскрытие ещё не закончено.
Другая ошибка — неверно раскрыть скобки с отрицательными членами. Отрицательное слагаемое может участвовать в нескольких произведениях, и его знак нужно учитывать в каждой паре отдельно. Например, (−b)(−d) = +bd, а (−b)c = −bc. Проверь знак каждого одночлена до того, как будешь складывать результаты.
При приведении подобных слагаемых иногда складывают их степени, например ошибочно превращают 2x² + 3x² в 5x⁴. Так путают сложение с умножением степеней: при сложении складываются только коэффициенты, а буквенная часть сохраняется. Правильно: 2x² + 3x² = 5x². Для самопроверки сравни буквенную часть слагаемых до и после объединения.
После раскрытия скобок могут оставить длинную сумму произведений без упрощения и принять её за окончательный ответ. Это происходит, если остановиться сразу после применения распределительного закона. Найди слагаемые с одинаковыми переменными в одинаковых степенях и сложи их коэффициенты. Затем упорядочь оставшиеся члены и проверь, что подобных слагаемых больше нет.
Чтобы умножать многочлены, нужно уметь распознавать одночлены и многочлены, перемножать коэффициенты и степени переменных, применять распределительный закон и складывать подобные слагаемые. Если эти действия знакомы, раскрытие скобок становится последовательным применением уже изученных правил. Повторить их полезно, если в вычислениях появились ошибки со знаками или степенями.
Умножение многочленов используют при преобразовании алгебраических выражений и решении уравнений: оно помогает убрать скобки и привести запись к удобному виду. Позже этот навык пригодится при изучении формул сокращённого умножения. Такие формулы позволяют быстрее выполнять некоторые произведения, но основаны на том же распределительном законе.
Обратное преобразование — разложение выражения на множители — также опирается на умение умножать многочлены. Оно встречается при упрощении выражений и в работе с квадратными уравнениями. Поэтому полезно проверять разложение, перемножая полученные множители обратно и сравнивая результат с исходным выражением.
Почему нужно умножать каждый член одного многочлена на каждый член другого?
Так требует распределительный закон: множитель перед скобками умножается на каждое слагаемое внутри неё. Если в обеих скобках есть несколько членов, правило применяют последовательно, пока каждый член первой скобки не будет перемножен с каждым членом второй.
Как не потерять слагаемые при раскрытии двух скобок?
Записывай пары множителей по порядку: каждый член первой скобки умножь на все члены второй. Можно составить таблицу пар или вести список произведений. Перед упрощением проверь, что число произведений равно произведению числа членов в скобках.
Что делать после получения суммы произведений?
Сначала умножь одночлены, внимательно вычислив коэффициенты, степени и знаки. Затем найди подобные слагаемые и сложи их коэффициенты. В конце упорядочь члены по убывающим степеням переменной.
Как правильно расставлять знаки в произведении многочленов?
Определи знак каждой пары отдельно по правилам умножения чисел: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус. Например, в произведении (a − b)(c − d) член −b умножается и на c, и на −d, поэтому получаются −bc и +bd.
Как проверить, что многочлены перемножены правильно?
Можно поменять множители местами и выполнить умножение ещё раз: результат должен совпасть. Ещё один способ — подставить одно и то же числовое значение переменной в исходное выражение и в ответ. Значения должны быть равны.
5.6. Произведение многочленов
