5.7. Целые выражения

Определения и обозначения

Целое выражение — выражение, составленное из чисел и переменных с помощью сложения, вычитания, умножения и возведения в натуральную степень. Например, 3x² − 5y и 2ab — целые выражения, а 1/x — нет: переменная оказалась в знаменателе. Это понятие помогает отличать выражения, которые можно преобразовывать как многочлены.

Одночлен — произведение чисел и переменных, в том числе отдельное число или одна переменная. В записи 7a²b число 7 — коэффициент, то есть числовой множитель, а a²b — буквенная часть. Такое разделение нужно, чтобы узнавать одночлены и собирать одинаковые буквенные части при упрощении.

Многочлен — сумма одночленов, например 3x² − 2x + 1. Знак минус можно понимать как знак отрицательного слагаемого: −2x. Одночлен тоже считают многочленом — он состоит из одного слагаемого, поэтому определения не противоречат друг другу.

Стандартный вид одночлена — запись, в которой числовой коэффициент умножается на степени разных переменных: например, 4a²b³. Степень одночлена — сумма показателей этих степеней: у 4a²b³ она равна 2 + 3 = 5. Стандартная запись делает одночлены удобными для сравнения и помогает определять степень.

Как это устроено

В целом выражении переменные соединяются сложением, вычитанием, умножением и натуральными степенями, потому что эти действия не помещают переменную в знаменатель. Деление на число допускается: например, (x + 1)/2 можно переписать как ½(x + 1), то есть умножение на числовой коэффициент. Но 1/x зависит от значения переменной в знаменателе и не является целым выражением. При x = 0 оно вообще не определено.

Сложение и вычитание одночленов дают сумму одночленов, то есть многочлен. Например, 2a + 3b — многочлен, хотя слагаемые у него разные. При умножении одночлена на многочлен каждый член умножается на одночлен: 2x(x + 3) = 2x² + 6x. Поэтому в результате снова получается сумма одночленов.

Чтобы привести одночлен к стандартному виду, сначала перемножают числовые множители, затем отдельно объединяют степени одинаковых переменных. При умножении степеней с одной и той же буквой показатели складываются: a² · a³ = a⁵. Например, в выражении −2a · 3a²b · (−b) числовая часть равна 6, а буквенная — a³b², значит, ответ 6a³b². Такой порядок не даёт потерять множители и упрощает поиск коэффициента и степени.

Стандартный вид многочлена получают в несколько действий: раскрывают скобки, находят подобные слагаемые и приводят их. Подобные слагаемые имеют одну и ту же буквенную часть, поэтому складывают только их коэффициенты: 3x + 5x = 8x, но 3x + 5x² объединить нельзя. Затем одночлены обычно записывают по убыванию степеней. Так становится заметен состав выражения и проще определить его старшую степень.

Степень одночлена находят сложением показателей переменных: у 5x³y² степень равна 3 + 2 = 5, а у числа 7 — 0. Степень многочлена — наибольшая степень его одночленов после приведения к стандартному виду: у x⁴ + 2x² − 1 она равна 4. При сложении одночленов показатели не складывают; сначала проверяют, подобны ли слагаемые. Если старшие слагаемые сократились, степень определяют заново по полученной записи.

Виды целых выражений и их признаки

Сначала выясни, к какому виду ближе выражение: произведение это или сумма одночленов. Затем проверь, нет ли переменной в знаменателе, и приведи запись к стандартному виду. Степень ищи после упрощения, а не по первоначальной записи.

Разбор задач

1. Определить, какие выражения являются целыми

Проверим выражения: 3a²b − 5b, (x + 1)/2, 7/(y − 3), 2m³n. Ищем переменную в знаменателе: деление на число допустимо, а деление на выражение с переменной — нет. Это различие позволяет не принять дробную запись за признак нецелого выражения автоматически.

1. В 3a²b − 5b есть степени, умножение и вычитание; переменной в знаменателе нет.
2. В (x + 1)/2 знаменатель — число 2. Запись можно представить как ½(x + 1), поэтому выражение целое.
3. В 7/(y − 3) знаменатель зависит от y. Это выражение не целое.
4. В 2m³n есть умножение и натуральная степень, значит, оно целое.

Ответ: целые выражения — 3a²b − 5b, (x + 1)/2 и 2m³n; выражение 7/(y − 3) не является целым.

2. Стандартный вид одночлена

Приведём к стандартному виду −2a · 3a²b · (−b) и найдём коэффициент и степень. Отдельно соберём числовые множители и одинаковые переменные: так меньше риск перепутать сложение показателей с действиями над коэффициентами. При умножении степеней с одинаковой буквой показатели складываются.

1. Перемножаем числа: (−2) · 3 · (−1) = 6.
2. Собираем буквы a: a · a² = a³.
3. Собираем буквы b: b · b = b².
4. Записываем одночлен стандартно: 6a³b². Степень равна 3 + 2 = 5.

Ответ: стандартный вид — 6a³b², коэффициент — 6, степень — 5. Два минуса при перемножении дают плюс, поэтому коэффициент положительный. Буквы a и b сохраняются, а показатели складываются только внутри одинаковых букв.

3. Приведение многочлена к стандартному виду

Упростим 3x(2x² − x + 4) − 2x²(x − 3). Сначала раскроем скобки умножением каждого одночлена на все слагаемые, затем приведём подобные. Во второй части перед скобками стоит минус, поэтому важно правильно учесть знаки каждого получившегося слагаемого.

1. Раскрываем первые скобки: 3x(2x² − x + 4) = 6x³ − 3x² + 12x.
2. Умножаем во второй части: 2x²(x − 3) = 2x³ − 6x².
3. Вычитаем всю вторую скобку: 6x³ − 3x² + 12x − (2x³ − 6x²) = 6x³ − 3x² + 12x − 2x³ + 6x².
4. Приводим подобные: 6x³ − 2x³ = 4x³, а −3x² + 6x² = 3x².

Ответ: 4x³ + 3x² + 12x; степень многочлена равна 3. Именно у слагаемого 4x³ наибольшая степень, и после упрощения оно не исчезло. Поэтому старшая степень исходной записи определяется по стандартному виду, а не по количеству действий или скобок.

Типичные ошибки

Ошибка — считать 1/x целым выражением, потому что в нём есть только числа, переменная и деление. Так думают, когда ориентируются на набор символов, а не на расположение переменной. Проверь, что стоит в знаменателе: деление на число можно заменить умножением на числовой коэффициент, но переменная в знаменателе нарушает определение.

При сложении одночленов иногда складывают показатели, как при умножении степеней: например, ошибочно получают x² + x³ = x⁵. Это происходит из-за смешения разных правил. Сначала проверь, одинаковы ли буквенные части: если да, складывай коэффициенты, а если нет — оставь слагаемые отдельно.

Коэффициент и степень одночлена — разные вещи: первый является числом-множителем, вторая характеризует показатели переменных. В записи 4x³ коэффициент равен 4, а степень — 3. Чтобы не перепутать их, выпиши числовую часть отдельно, затем сложи показатели степеней всех букв.

Если перед скобками стоит минус, нельзя менять знак только у первого слагаемого. Минус относится ко всей скобке и распределяется на каждый её член: −(x − 3) = −x + 3. После раскрытия скобок проверь каждое слагаемое отдельно; для самопроверки умножь все члены внутри скобок на −1.

Связь с другими темами

Для работы с целыми выражениями нужны свойства действий с числами, степени с натуральными показателями, раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых. Ранее изученные буквенные выражения здесь получают более чёткую структуру: их рассматривают как одночлены и многочлены. Дальше эти знания пригодятся для тождественных преобразований, разложения многочленов на множители и решения уравнений.

Что запомнить

• Целое выражение не содержит переменную в знаменателе.
• Одночлен — произведение числового коэффициента и степеней переменных.
• Многочлен — сумма одночленов.
• Подобные одночлены имеют одинаковую буквенную часть.
• Степень одночлена равна сумме показателей степеней его переменных.
• Степень многочлена — наибольшая степень входящих в него одночленов после упрощения.
• Перед вычислениями целое выражение часто приводят к стандартному виду.