"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Числовое значение целого выражения — это результат, который получается, когда вместо букв подставляют заданные числа и выполняют вычисления. Такие выражения встречаются в формулах, задачах и проверке равенств. Чтобы найти значение без ошибок, нужно заменить каждую переменную во всех местах, отрицательные числа записать в скобках и соблюдать порядок действий: сначала скобки и степени, затем умножение и деление, потом сложение и вычитание.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Целое выражение — выражение, составленное из чисел, переменных, арифметических действий и скобок, в котором переменная не находится в знаменателе. Например, 2x − 3 и a² + 5 — целые выражения, а 1/x — нет. Это определение помогает отличить выражения, для которых можно подставить числа и выполнять обычные действия, от дробей с переменной в знаменателе.
Значение переменной — число, которое подставляют вместо буквы в выражении. Если сказано, что a = 4, то во всех местах выражения букву a заменяют числом 4. Заданные значения нужны, чтобы перейти от общей записи для разных чисел к вычислению конкретного результата.
Числовое значение целого выражения — число, полученное после подстановки заданных значений переменных и выполнения вычислений. Например, при a = 4 выражение 2a + 1 имеет значение 9. Оно показывает итог вычисления для выбранных значений букв, поэтому при других значениях переменных результат может измениться.
Подстановка значения переменной — замена каждой буквы соответствующим числом, причём отрицательное число заключают в скобки. Так, если x = −3, то запись x² превращается в (−3)². Скобки показывают, что минус входит в подставляемое число, и помогают не перепутать порядок действий.
Буквенное выражение становится числовым, когда известны значения всех его переменных: вместо каждой буквы можно записать соответствующее число. Например, выражение 3a − 2b при заданных a и b уже не зависит от неизвестных величин. После замены букв остаются только числа и знаки действий, поэтому результат можно вычислить обычным способом.
При подстановке важно сохранить исходные знаки действий и заменить каждую переменную во всех местах, где она встречается. Если значение отрицательное, его заключают в скобки: при x = −2 запись 3x становится 3·(−2). Без скобок минус может ошибочно восприниматься как знак отдельного действия, а не как часть числа, которое подставляют.
После подстановки порядок действий не меняется, потому что числовое выражение подчиняется тем же правилам, что и любое вычисление. Сначала выполняют действия в скобках и степени, потом умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Если считать просто слева направо, можно, например, сложить до умножения и получить неверный результат.
Знаки особенно внимательно проверяют при степенях и действиях с отрицательными числами. В записи (−2)² в квадрат возводится всё число −2, поэтому получается 4, а в −2² сначала вычисляют 2² и только затем ставят минус: выходит −4. При умножении одинаковые знаки дают положительный результат, разные — отрицательный; при сложении чисел с разными знаками сравнивают их модули.
Иногда удобнее сначала упростить выражение: например, сложить подобные слагаемые или раскрыть скобки, а уже потом подставить значения. Так можно сократить число вычислений, но каждое преобразование должно сохранять значение выражения. Ответ полезно проверить повторным вычислением по исходной записи или другим способом: совпадение результатов помогает заметить арифметическую ошибку.
| Этап | Что выполнить | На что обратить внимание |
|---|---|---|
| Записать значения переменных | Отметить, какое число соответствует каждой букве | Не перепутать значения разных переменных |
| Подставить числа вместо всех букв | Заменить каждую переменную во всём выражении | Проверить все вхождения каждой буквы |
| Отрицательные числа заключать в скобки | Записать, например, x = −2 как (−2) | Скобки нужны и перед степенью, и после знака умножения |
| Выполнить действия в скобках и возвести числа в степени | Вычислить скобки и степени | Учитывать, к какому числу относится степень |
| Выполнить умножение и деление | Считать действия по порядку слева направо | Следить за знаками произведений и частных |
| Выполнить сложение и вычитание | Довести вычисление до одного числа | Аккуратно работать с отрицательными слагаемыми |
| Записать числовой ответ | Указать полученное значение выражения | Не забыть, при каких значениях переменных оно найдено |
Пользуйся таблицей как последовательным планом: переходи к следующему этапу, когда предыдущий выполнен для всего выражения. Перед вычислениями проверь, что заменены все буквы и отрицательные числа стоят в скобках. В конце сравни порядок действий с правилами и запиши итог.
Найти числовое значение выражения 3a − 2b при a = 4 и b = −1. Здесь нет степеней и сложных скобок, поэтому сначала заменим обе буквы, а затем выполним умножение и вычитание. Значение b отрицательное, значит, при подстановке его нужно заключить в скобки.
Ответ: 14.
Найти значение выражения −2x² + 3xy − y² при x = −2 и y = 3. Буква x встречается два раза, поэтому в обоих местах подставляем −2; в записи x² значение берём в скобки до возведения в квадрат. Затем вычислим степени и произведения, сохраняя знаки перед слагаемыми.
Ответ: −35.
Найти значение выражения 2(a − b)² − 3ab + 5 при a = −1 и b = 2. Сначала подставим числа во все вхождения букв, чтобы увидеть структуру вычислений. Скобки в первой части нужно вычислить до возведения в квадрат, а произведение ab — отдельно.
Ответ: 29.
При подстановке отрицательного числа иногда забывают скобки и записывают −2² вместо (−2)². Так получается ошибка: степень относится только к 2, а минус остаётся перед результатом. Проверяй себя, задавая вопрос: возводится в степень отрицательное число целиком или только число без знака?
Букву могут заменить не во всех местах или случайно изменить знак перед слагаемым. Это происходит, когда подстановку делают наспех и следят только за частью выражения. Проверь запись по исходному выражению: каждое вхождение каждой буквы должно быть заменено, а знаки действий — сохранены.
Ещё одна ошибка — считать все действия подряд слева направо, не выполняя сначала скобки и степени и не отдавая приоритет умножению перед сложением. Например, в выражении 2 + 3·4 сначала нужно умножить 3 на 4. Чтобы проверить себя, отметь порядок действий до вычислений и сверяй каждый следующий шаг с ним.
Знаки при сложении и умножении отрицательных чисел тоже легко перепутать, особенно если отрицательных слагаемых несколько. При умножении ориентируйся на сочетание знаков, а при сложении чисел с разными знаками сравнивай модули и сохраняй знак числа с большим модулем. В конце оцени результат: например, сумма нескольких отрицательных чисел не может стать положительной.
Для вычисления значения выражения нужно уметь выполнять действия с положительными и отрицательными числами, соблюдать порядок действий, пользоваться свойствами степеней и раскрывать скобки. Эти навыки нужны, чтобы подстановка не превращалась в набор случайных вычислений. Если одно из правил забыто, полезно сначала повторить именно его.
Вычисление значений выражений пригодится при работе с формулами: подстановка чисел позволяет найти конкретную величину. Так же проверяют, верно ли равенство при заданных значениях переменных, и проверяют найденное решение уравнения. Позже этот навык поможет преобразовывать многочлены, работать с функциями и составлять таблицы значений.
Почему отрицательное число при подстановке нужно брать в скобки?
Скобки показывают, что минус относится к подставленному числу целиком. Например, (−2)² = 4, а −2² = −4: без скобок сначала возводят в квадрат число 2, а затем ставят перед результатом минус.
Можно ли сначала упростить выражение, а потом подставить значения переменных?
Да, если преобразования выполнены правильно и выражение после упрощения имеет те же значения при допустимых значениях переменных. Например, можно привести подобные слагаемые, а потом подставить числа. Иногда так вычислять быстрее.
Что делать, если одна и та же переменная встречается в выражении несколько раз?
Заменить каждое её вхождение одним и тем же заданным числом. Если пропустить букву или подставить в разных местах разные числа, получится уже другое выражение.
Как не перепутать знак результата при умножении и сложении отрицательных чисел?
При умножении чисел с одинаковыми знаками результат положительный, с разными — отрицательный. При сложении чисел с разными знаками вычтите меньший модуль из большего и поставьте знак числа с большим модулем.
В каком порядке выполнять действия в выражении со скобками и степенями?
Сначала выполняют действия в скобках и возведение в степень. Затем умножают и делят по порядку слева направо, а после этого так же выполняют сложение и вычитание.
5.8. Числовое значение целого выражения
