"Алгебра", Муравин Г.К., Муравин К.С., Муравина О.В.
Произведение многочленов получают, умножая каждый член одного многочлена на каждый член другого. Это правило основано на распределительном законе и помогает раскрывать скобки, упрощать выражения и доказывать тождества. При вычислениях важно следить за знаками, коэффициентами и степенями одинаковых переменных. После умножения подобные слагаемые приводят, а результат записывают в стандартном виде многочлена.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многочлен — выражение, состоящее из суммы или разности одночленов. Одночлен включает числовой коэффициент и буквенную часть, например 4x² или −3ab; отдельные слагаемые многочлена называют его членами. В стандартном виде многочлен записывают без лишних скобок и обычно располагают члены по убыванию степеней.
Произведение многочленов — результат умножения одного многочлена на другой. Например, выражение (x + 2)(x − 3) является произведением двучленов, а после вычислений превращается в новый многочлен. Это понятие нужно, чтобы раскрывать скобки и заменять сложную запись более простой.
Распределительный закон умножения показывает, как умножать число или одночлен на сумму либо разность: a(b + c) = ab + ac, a(b − c) = ab − ac. Множитель распределяется по всем членам скобок. Именно этот закон превращает умножение многочленов в несколько последовательных умножений одночленов.
Подобные слагаемые — слагаемые с одинаковой буквенной частью, например 5x² и −2x². Их можно объединить, сложив или вычтя коэффициенты: 5x² − 2x² = 3x². После раскрытия скобок приведение подобных слагаемых помогает получить компактную запись результата.
Произведение двух многочленов получают последовательным применением распределительного закона. Сначала каждый член первого многочлена умножают на второй многочлен целиком, а затем каждый полученный результат раскрывают. В итоге каждый член первого многочлена встречается в паре с каждым членом второго, поэтому ни одна пара не пропускается.
Число промежуточных произведений зависит от числа членов в обоих многочленах. Если в первом многочлене m членов, а во втором n, то образуется m · n пар. Например, у двучлена и трёхчлена будет 2 · 3 = 6 произведений, потому что каждый из двух членов должен соединиться с каждым из трёх.
Каждое промежуточное произведение вычисляют по правилам умножения одночленов. Коэффициенты перемножают, знак находят по знакам множителей, а показатели одинаковых переменных складывают: a² · a³ = a⁵. Например, (−2x²) · 3x = −6x³: знак отрицательный, коэффициенты дают −6, а степени x складываются.
После раскрытия скобок в записи могут появиться одинаковые буквенные части. Такие слагаемые объединяют, потому что сложение их коэффициентов не меняет буквенную часть: 4x + 7x = 11x. Неподобные слагаемые, например x² и x, объединять нельзя, поэтому сначала нужно сравнить все буквы и их показатели.
Проверка нужна, чтобы обнаружить пропущенный член или ошибку в знаке. Можно снова применить распределительный закон к исходной записи и сравнить все пары, а можно подставить удобное значение переменной в исходное и упрощённое выражения. Совпадение одного значения полезно, но особенно надёжно дополнительно проверить знаки, число произведений и степени.
Таблица подсказывает, какие действия выполнять в разных случаях. После каждого шага сверяйте не только вычисления, но и количество получившихся произведений. Это помогает заметить пропуск ещё до приведения подобных слагаемых.
| Ситуация | Что сделать | Что проверить |
|---|---|---|
| Многочлен умножается на одночлен | Умножить одночлен на каждый член многочлена. | Не пропущен ли член и правильно ли определены знаки. |
| Два двучлена | Перемножить каждую пару членов и сложить полученные произведения. | Всего должно быть четыре промежуточных произведения. |
| Многочлен умножается на многочлен | Каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго. | Совпадает ли количество пар с произведением числа членов. |
| После раскрытия скобок | Раскрыть скобки, привести подобные слагаемые и упорядочить члены. | Одинаковы ли буквенные части объединённых слагаемых. |
| В произведении есть противоположные или одинаковые слагаемые | Учитывать знаки при сложении и вычитании коэффициентов. | Не потерян ли общий множитель и верны ли степени переменных. |
Условие: раскрыть скобки и привести подобные слагаемые: (x + 3)(x + 5). Здесь оба множителя имеют по два члена, поэтому нужно получить четыре промежуточных произведения. После этого два слагаемых с x объединим.
Ответ: x² + 8x + 15.
Условие: упростить выражение (2a − 3)(a² + a − 4). Первый множитель содержит два члена, второй — три, поэтому появится шесть произведений. Отрицательный член −3 нужно умножить на каждый член трёхчлена, сохраняя знаки.
Ответ: 2a³ − a² − 11a + 12.
Условие: упростить (3x − 2)(x + 4) − (x − 1)(2x + 5). Сначала раскроем обе пары скобок отдельно, а затем учтём минус перед вторым произведением. Этот минус меняет знаки всех слагаемых второго результата.
Ответ: x² + 7x − 3.
Часто умножают только первые или внешние члены скобок. Так происходит, когда правило заменяют запоминанием отдельных случаев; проверьте себя подсчётом пар: каждый член должен участвовать в произведении.
Другой промах — потеря знака минус у отрицательного множителя или перед скобками. Ошибку допускают при устных вычислениях без промежуточной записи, поэтому ставьте знак каждого произведения сразу.
Нельзя складывать коэффициенты вместо показателей степеней: a² · a³ = a⁵, а не a⁶. Перед записью результата отдельно перемножьте коэффициенты и отдельно разберите буквенную часть.
Неподобные слагаемые иногда объединяют только потому, что в них есть одна и та же буква. Сравните буквенные части полностью: x² и x, а также ab и a²b подобными не являются.
Для работы нужны знания об одночленах, многочленах, распределительном законе, правилах умножения одночленов и приведении подобных слагаемых. Произведение многочленов используется при раскрытии скобок, упрощении выражений и доказательстве тождеств. Позже это умение понадобится при разложении на множители, решении уравнений и изучении формул сокращённого умножения.
Почему при умножении многочленов нужно умножать каждый член на каждый?
Многочлены состоят из сумм и разностей, поэтому применяется распределительный закон. Он требует умножить множитель на каждый член суммы, а при двух многочленах это правило применяется последовательно.
Как не потерять знак минус при раскрытии скобок?
Записывайте каждое промежуточное произведение отдельно и сразу определяйте его знак. Если перед скобками стоит минус, это то же самое, что умножение всех членов скобок на −1.
Сколько промежуточных произведений получится при умножении двучлена на трёхчлен?
Двучлен содержит 2 члена, а трёхчлен — 3. Поэтому получится 2 · 3 = 6 промежуточных произведений.
Можно ли сразу складывать полученные слагаемые?
Сначала нужно выписать все произведения, чтобы не пропустить ни одного члена и не ошибиться в знаках. Затем можно объединить только подобные слагаемые.
Как проверить, правильно ли выполнено умножение многочленов?
Проверьте, что каждый член первого многочлена умножен на каждый член второго, а число произведений совпадает с произведением числа членов. Дополнительно можно раскрыть скобки обратным способом или подставить одно и то же значение переменной в исходное и полученное выражения.
§ 9. Произведение многочленов
