"Алгебра", Муравин Г.К., Муравин К.С., Муравина О.В.
Произведение многочленов преобразуют в сумму произведений их слагаемых: каждый член первой скобки умножают на каждый член второй. Так раскрывают скобки и получают выражение, которое можно упростить, объединив подобные слагаемые. Главное — не пропустить ни одной пары слагаемых, правильно учесть знаки и степени переменных, а затем записать ответ в стандартном порядке.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Произведение двух многочленов — выражение, полученное умножением каждого слагаемого первого многочлена на каждое слагаемое второго. Например, в произведении (a + b)(c + d) нужно учесть пары ac, ad, bc и bd. Это определение помогает увидеть, сколько частей должно появиться после раскрытия скобок.
Распределительное свойство умножения — правило, по которому сумму умножают на число, одночлен или другую сумму по частям. Например, a(b + c) = ab + ac. Оно нужно, чтобы заменить умножение многочленов более простыми умножениями отдельных слагаемых.
Раскрытие скобок — замена произведения многочленов суммой произведений отдельных слагаемых. Так, (x + 1)(x + 2) превращается в x² + 2x + x + 2. Этот приём позволяет продолжить упрощение выражения без скобок.
Приведение подобных слагаемых — объединение слагаемых с одинаковой буквенной частью. Например, 2x и 5x можно заменить на 7x, а x и x² объединять нельзя. Этот шаг нужен, чтобы получить более короткую и удобную для вычислений запись.
Каждое слагаемое первого многочлена умножают на каждое слагаемое второго, потому что умножение на сумму распределяется на все её части. Если забыть хотя бы одно слагаемое, получится не всё произведение, а только его часть. Для (a + b)(c + d) сначала можно умножить a на сумму c + d, а затем b на ту же сумму. Так появляются все четыре произведения: ac, ad, bc и bd.
Распределительное свойство объясняет, как превратить произведение многочленов в сумму произведений одночленов. Например, (a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd. Сначала раскрываем одну скобку относительно слагаемых другой, затем раскрываем оставшиеся суммы. Такой порядок позволяет не пропустить ни одну пару и применим к многочленам с любым числом слагаемых.
Каждое полученное произведение одночленов вычисляют по отдельным правилам для чисел и букв. Числовые коэффициенты перемножают, знаки определяют по правилу: одинаковые дают плюс, разные — минус. Степени одинаковых переменных складывают: x² · x = x³, поскольку это произведение трёх множителей x. Буквенные части с разными переменными сохраняют вместе, например a · b = ab.
После раскрытия скобок некоторые слагаемые могут иметь одинаковую буквенную часть. Их коэффициенты складывают или вычитают, потому что такие слагаемые выражают количество одинаковых частей: 3x + 2x = 5x. Слагаемые с разными буквенными частями объединять нельзя: 3x и 2y остаются разными. После приведения подобных многочлен становится короче и его легче использовать в дальнейших вычислениях.
Работай по порядку: раскрой скобки, составь все произведения пар слагаемых, приведи подобные и проверь результат. Для проверки посчитай пары: если в скобках m и n слагаемых, должно получиться m · n произведений до объединения. Затем сверь знаки и степени переменных в каждом произведении. В конце расположи слагаемые, например, по убыванию степеней x.
| Случай или этап | Что сделать | Что проверить |
|---|---|---|
| Два двучлена | Перемножить каждое слагаемое первой скобки на каждое слагаемое второй; получить четыре произведения | Все ли пары слагаемых перемножены |
| Многочлен и двучлен | Умножить каждый член многочлена на оба слагаемых двучлена | Ни один член многочлена не пропущен |
| Два многочлена с несколькими слагаемыми | Составить все произведения слагаемых первого многочлена на слагаемые второго | Количество произведений соответствует числу всех пар слагаемых |
| Завершение преобразования | Привести подобные слагаемые и упорядочить результат | Не объединены ли слагаемые с разными буквенными частями |
Выбери в таблице строку, подходящую к выражению, и выполни указанное действие. Проверки в третьем столбце помогают заметить пропущенные произведения и ошибки при упрощении. Если многочлены большие, удобно сначала выписать пары по одному слагаемому первой скобки.
Здесь два двучлена, поэтому получатся четыре произведения. Умножим каждый член первой скобки на оба члена второй. После этого объединим слагаемые, содержащие x.
В каждой скобке по два слагаемых, значит, нужно составить четыре произведения. Особое внимание уделим знакам: отрицательное −2b умножается на положительные a и 5b. Подобными окажутся два слагаемых с буквенной частью ab.
В первой скобке три члена, во второй два, поэтому ожидаем шесть произведений. Чтобы ничего не пропустить, по очереди умножим каждый член первого многочлена на x и на −2. Затем соберём слагаемые с одинаковой степенью x.
Умножают только первые слагаемые скобок, перенося на многочлены правило умножения одночленов. Так исчезают остальные части произведения. Проверь себя: для двух двучленов должны появиться четыре произведения, а не одно.
Пропускают одно произведение при раскрытии скобок, особенно если слагаемых много. Это случается, когда пары не выписывают систематически и перескакивают между членами. Подсчитай число пар: оно равно произведению числа слагаемых в каждой скобке.
Неверно определяют знак или степени переменных в одночлене. Например, забывают, что отрицательное число, умноженное на положительное, даёт отрицательное, или пишут x² · x = x². Проверяй каждый множитель отдельно: сначала знак и коэффициенты, затем степени одинаковых букв.
Складывают неподобные слагаемые либо оставляют подобные без объединения. Обычно путают одинаковые коэффициенты с одинаковыми буквенными частями: 2x и 2x² не являются подобными. Сверяй буквенную часть целиком, включая переменные и их степени, и объединяй только совпадающие части.
Для умножения многочленов нужны распределительное свойство, правила умножения одночленов и умение приводить подобные слагаемые. Эти знания позволяют раскрывать скобки и упрощать выражения перед вычислениями или решением уравнений. Позже тот же результат можно получать с помощью формул сокращённого умножения, если выражение подходит под такую формулу. Преобразование также помогает раскладывать многочлены на множители — выполнять обратное действие.
Почему нельзя умножить только первые слагаемые в скобках?
По распределительному свойству каждое слагаемое первой скобки умножается на каждое слагаемое второй. Если перемножить только первые, остальные пары не попадут в ответ, и равенство нарушится.
Сколько произведений получится при умножении двух многочленов?
Столько, сколько пар слагаемых можно составить: число слагаемых в первом многочлене умножают на число слагаемых во втором. Например, у двух двучленов получится 2 · 2 = 4 произведения.
Нужно ли сразу приводить подобные слагаемые после раскрытия скобок?
Сначала запиши все произведения, чтобы не потерять ни одного слагаемого. Затем найди подобные и объедини их; так легче проверить, что раскрытие скобок выполнено правильно.
Как не ошибиться в знаках при умножении многочленов?
Определи знак каждого произведения отдельно: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус. Удобно сначала выписать произведения с их знаками, а потом выполнять сложение.
Можно ли применять формулы сокращённого умножения вместо общего алгоритма?
Можно, если выражение подходит под известную формулу, например формулу квадрата суммы или разности. Если подходящей формулы нет или ты не уверен, раскрой скобки общим способом.
22. Преобразование произведения двух многочленов
