"Алгебра", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Квадрат суммы и квадрат разности — это двучлены в скобках, возведённые во вторую степень. Их можно раскрыть по специальным формулам: в результате получаются квадраты слагаемых и удвоенное произведение этих слагаемых. Знак среднего члена зависит от знака между слагаемыми, а оба квадрата входят в ответ со знаком плюс. Формулы помогают быстрее раскрывать скобки, упрощать многочлены и выполнять вычисления в уме.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадрат суммы — выражение вида (a + b)². Здесь a и b обозначают любые числа или выражения, а квадрат означает умножение скобки на саму себя. Раскрыть такой квадрат — значит записать его без скобок как сумму квадратов слагаемых и удвоенного произведения; это помогает быстро преобразовывать выражения.
Формула квадрата суммы имеет вид (a + b)² = a² + 2ab + b². Первый член a² — квадрат первого слагаемого, последний b² — квадрат второго, а средний 2ab — удвоенное произведение слагаемых. Формула показывает сразу все три части результата, поэтому при раскрытии скобок легче ничего не забыть.
Квадрат разности — выражение вида (a − b)², то есть произведение разности на саму себя. При раскрытии скобок средний член получается со знаком минус, потому что второе слагаемое вычитается в обеих скобках. Такое обозначение помогает отличить квадрат разности от квадрата суммы и правильно выбрать знак в результате.
Формула квадрата разности: (a − b)² = a² − 2ab + b². В ней a² и b² — квадраты первого и второго слагаемых, а −2ab — удвоенное произведение со знаком минус. Последний член положителен, так как при умножении второго слагаемого на себя получается (−b)(−b) = b².
Чтобы понять формулы, заменим квадрат произведением двучлена на самого себя. Для суммы получаем (a + b)(a + b), а для разности — (a − b)(a − b). Это не новый способ вычисления, а обычное значение второй степени: выражение умножается на себя.
Применим распределительное свойство: каждый член первой скобки умножается на каждый член второй. В случае суммы получаются a · a, a · b, b · a и b · b, то есть a² + ab + ab + b². Поскольку ab и ba равны, два одинаковых произведения складываются в 2ab; так возникает средний член формулы.
Для разности перемножаем (a − b)(a − b) и учитываем знаки: a · a, a · (−b), (−b) · a и (−b) · (−b). В результате имеем a² − ab − ab + b², а два отрицательных произведения дают −2ab. Последнее произведение положительно, потому что произведение двух отрицательных чисел положительное.
Сравнение двух результатов помогает выбрать нужный знак. В обоих случаях первый и второй члены — квадраты слагаемых, поэтому они положительны; меняется только знак среднего члена. Он повторяет знак между слагаемыми в скобках: плюс у суммы и минус у разности.
Чтобы распознать формулу, найдите двучлен — выражение из двух слагаемых — внутри скобок и проверьте, что вся скобка возведена в квадрат. Затем возведите каждое слагаемое в квадрат, вычислите их удвоенное произведение и поставьте перед ним подходящий знак. Например, (x + 3)² = x² + 6x + 9, а (2a − b)² = 4a² − 4ab + b²; во втором случае квадрат первого слагаемого равен (2a)² = 4a².
| Выражение | Формула | Знак среднего члена |
|---|---|---|
| (a + b)² | a² + 2ab + b² | Плюс |
| (a − b)² | a² − 2ab + b² | Минус |
| Квадрат первого слагаемого | a² | Плюс |
| Удвоенное произведение слагаемых | 2ab | Зависит от знака между слагаемыми |
| Квадрат второго слагаемого | b² | Плюс |
Пользуйтесь таблицей так: сначала найдите нужный вид выражения в первом столбце, затем сверьте формулу и знак среднего члена. Последние три строки напоминают, из каких частей складывается результат. Не меняйте знак квадратов слагаемых: знак зависит только от среднего члена.
Раскройте скобки: (x + 4)². В скобках стоит сумма двух слагаемых, поэтому можно применить формулу квадрата суммы. Первым слагаемым является x, вторым — 4; нужно получить квадраты обоих и удвоенное произведение.
Ответ: x² + 8x + 16.
Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые: (3a − 2b)² + (a + b)². Здесь два квадрата двучленов, и к каждому нужно применить свою формулу. Сначала раскроем их по отдельности, чтобы не смешать знаки, а затем сложим получившиеся выражения.
Ответ: 10a² − 10ab + 5b².
Вычислите удобным способом: 48² + 2 · 48 · 2 + 2². Здесь числа стоят на местах a и b в формуле квадрата суммы: есть квадрат первого числа, удвоенное произведение и квадрат второго. Поэтому вместо отдельных вычислений можно свернуть выражение в квадрат суммы.
Ответ: 2500.
Ошибка: записать (a + b)² = a² + b² и забыть средний член. Так кажется проще, если возвести в квадрат каждое слагаемое по отдельности, но квадрат всей суммы означает умножение скобки на саму себя. Проверьте себя распределительным свойством: в произведении (a + b)(a + b) появляются ещё два произведения ab.
Ошибка: поставить минус перед b² в формуле квадрата разности. Знак минус внутри скобок относится к слагаемому −b, но при умножении на себя получается (−b)(−b) = b². Для проверки перемножьте вторые члены скобок и вспомните правило: произведение двух отрицательных чисел положительно.
Ошибка: написать в среднем члене ab вместо 2ab. Это происходит, когда учитывают только одно из двух смешанных произведений и не перемножают каждый член каждой скобки. Проверьте полное раскрытие: ab и ba складываются, поэтому средний член содержит множитель 2.
Ошибка: возвести в квадрат только один член, например записать (a + b)² как a² + b. Степень за скобкой относится ко всему выражению в скобках, а не только к первому слагаемому. Чтобы проверить запись, разверните квадрат в произведение (a + b)(a + b) и убедитесь, что в ответе учтены все четыре произведения.
Для получения формул нужно знать распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания: каждый член одной скобки умножается на каждый член другой. Также пригодятся правила умножения одночленов, например a · a = a² и 2a · b = 2ab. Если эти действия знакомы, формулы можно не заучивать как случайные правила, а вывести самостоятельно.
Квадрат суммы и квадрат разности используют при раскрытии скобок и упрощении многочленов. Они также помогают преобразовывать выражения и считать быстрее, когда числа можно представить как сумму или разность удобных слагаемых. Умение замечать вид формулы позволяет заменить длинное умножение короткой записью.
Почему в формуле появляется 2ab?
При умножении двучлена на самого себя возникают два одинаковых произведения: ab и ba. Так как ab = ba, их сумма равна 2ab.
Почему при возведении разности в квадрат последний член положительный?
Последний член получается при умножении второго слагаемого на самого себя: (−b) · (−b) = b². Произведение двух отрицательных чисел положительно.
Как не перепутать формулы квадрата суммы и квадрата разности?
Сначала посмотрите на знак между слагаемыми в скобках: он определяет знак среднего члена. При сумме средний член положительный, при разности — отрицательный, а квадраты слагаемых в обоих случаях положительны.
Можно ли применять формулу, если вместо букв стоят числа?
Да, числа тоже можно подставить вместо a и b. Например, выражение 48² + 2 · 48 · 2 + 2² совпадает с формулой квадрата суммы и равно (48 + 2)².
Как проверить, правильно ли раскрыты скобки?
Убедитесь, что в результате есть квадраты обоих слагаемых и удвоенное их произведение. Для проверки можно перемножить скобки по распределительному свойству и сравнить полученные члены.
§ 12. Квадрат суммы и квадрат разности
