"Алгебра", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Квадрат суммы или разности — это произведение двучлена на самого себя. При раскрытии скобок получаются квадраты каждого слагаемого и их удвоенное произведение. У среднего слагаемого в квадрате суммы знак плюс, а в квадрате разности — минус. Эти формулы помогают быстрее раскрывать скобки, упрощать выражения и узнавать многочлены, которые можно записать как квадрат двучлена.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадрат суммы двух чисел — это произведение суммы на саму себя: (a + b)² = (a + b)(a + b). Например, запись означает, что нужно дважды взять одну и ту же сумму a + b. Такое определение помогает понять, откуда берутся слагаемые при раскрытии скобок, а не просто запомнить готовое правило.
Квадрат разности двух чисел — это произведение разности на себя: (a − b)² = (a − b)(a − b). Здесь оба множителя одинаковы, и каждый содержит разность a − b. Это определение нужно, чтобы правильно учитывать знаки при умножении и не путать квадрат разности с разностью квадратов.
Двучлен — выражение из двух слагаемых, соединённых знаком сложения или вычитания, например x + 3 или 2a − 5b. Возвести двучлен в квадрат означает умножить его на себя. Понимание этого помогает применять формулы не только к числам и буквам по отдельности, но и к целым выражениям, стоящим в скобках.
Чтобы вывести формулу квадрата суммы, представим его произведением: (a + b)(a + b). Раскроем скобки по распределительному свойству: a · a + a · b + b · a + b · b. Получаем a² + ab + ab + b², а после приведения подобных слагаемых — a² + 2ab + b². Значит, формула появляется из обычного умножения, а не является отдельным правилом без объяснения.
Удвоенное произведение возникает потому, что каждый член первой скобки умножается на каждый член второй. В результате смешанное произведение ab получается дважды: один раз из a · b, другой — из b · a. Так как ab и ba равны, их можно сложить и записать как 2ab. Если оставить только одно такое произведение, результат умножения будет неполным.
Квадрат разности раскрываем тем же способом: (a − b)(a − b) = a · a + a · (−b) + (−b) · a + (−b) · (−b). Смешанные произведения равны −ab и −ab, поэтому вместе дают −2ab. Последний множитель даёт положительное b², так как произведение двух отрицательных чисел положительно; итоговая формула — a² − 2ab + b².
В обеих формулах крайние слагаемые — квадраты исходных слагаемых: a² и b². Среднее слагаемое — удвоенное произведение a и b, а его знак зависит от знака между слагаемыми в исходном двучлене. При сумме получаем плюс 2ab, при разности — минус 2ab. Именно средний член позволяет различить два результата, хотя крайние члены у них одинаковы.
Формулы действуют и тогда, когда вместо a или b стоит одночлен, то есть произведение чисел и букв, например 2a или 5b. Нужно считать такое выражение целым слагаемым: сначала найти квадрат каждого слагаемого, затем вычислить их удвоенное произведение и сохранить нужный знак. С числовыми выражениями поступают так же, подставляя числа вместо букв. Например, для (x + 3)² средний член равен 2 · x · 3 = 6x.
| Выражение | Формула | Знак среднего слагаемого |
|---|---|---|
| Квадрат суммы | (a + b)² = a² + 2ab + b² | Плюс |
| Квадрат разности | (a − b)² = a² − 2ab + b² | Минус |
Сначала определи, сумма или разность записана в скобках, затем выбери соответствующую строку таблицы. Возведи оба слагаемых в квадрат и не забудь удвоить их произведение. Знак среднего слагаемого повторяет знак между слагаемыми в скобках.
Задача 1. Раскрыть скобки: (x + 3)². В скобках стоит сумма, поэтому подходит формула квадрата суммы. Слагаемые здесь — x и 3, их нужно подставить вместо a и b.
Ответ: x² + 6x + 9. Число 3 тоже возводится в квадрат, а средний член получается из удвоенного произведения x и 3.
Задача 2. Раскрыть скобки: (2a − 5b)². Это квадрат разности, значит средний член будет отрицательным. В качестве слагаемых берём целые выражения 2a и 5b, а не только буквы a и b.
Ответ: 4a² − 20ab + 25b². Квадраты слагаемых дают 4a² и 25b², а произведение 2a и 5b удваивается и получает знак минус.
Задача 3. Представить выражение 9x² + 24xy + 16y² в виде квадрата двучлена. Сначала посмотрим на крайние члены: 9x² = (3x)², а 16y² = (4y)². Поэтому можно предположить, что исходный двучлен содержит 3x и 4y, и осталось проверить средний член.
Ответ: 9x² + 24xy + 16y² = (3x + 4y)². Проверка среднего члена подтверждает, что многочлен действительно является квадратом суммы.
Ошибка: записывать (a + b)² = a² + b². Так можно ошибиться, если забыть, что при умножении суммы на себя появляются два смешанных произведения. Проверь ответ, раскрыв скобки: между квадратами должен быть член 2ab. Например, (2 + 3)² = 25, тогда как 2² + 3² = 13.
Ошибка: заменять квадрат разности выражением a² − b². Такое выражение — разность квадратов, а при возведении разности в квадрат остаётся средний член −2ab. Ошибку допускают, когда ориентируются только на квадраты крайних слагаемых. Для проверки раскрой произведение (a − b)(a − b) или сравни результат с формулой.
Ошибка: забывать множитель 2 в среднем слагаемом. Он появляется из двух одинаковых произведений ab, поэтому одного ab недостаточно. Чтобы проверить себя, раскрой скобки по членам и посчитай оба смешанных произведения. Например, для (x + 3)² возникают x · 3 и 3 · x, вместе это 6x.
Ошибка: ставить плюс перед средним членом квадрата разности. Каждый из двух смешанных членов равен −ab, поэтому в сумме они дают −2ab. Иногда знак теряется при переносе формулы квадрата суммы на случай разности. Проверка умножением показывает оба отрицательных произведения; при этом последний член b² всё равно положителен.
Для вывода формул нужны распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания, умножение многочлена на многочлен и приведение подобных слагаемых. Если эти действия знакомы, можно самостоятельно проверить обе формулы умножением двучлена на себя. Это также помогает понять появление среднего члена.
Формулы используют для быстрого раскрытия скобок и упрощения буквенных и числовых выражений. Обратное применение позволяет распознавать полный квадрат двучлена и раскладывать многочлены на множители. Например, выражение вида a² + 2ab + b² можно свернуть в (a + b)², если все три члена подходят.
Почему в формуле квадрата суммы появляется 2ab?
При умножении (a + b)(a + b) возникают два одинаковых смешанных произведения: ab и ab. Вместе они дают 2ab.
Почему в квадрате разности последний член b² положительный?
Последний член получается при умножении отрицательного слагаемого на себя: (−b)(−b) = b². Произведение двух отрицательных чисел положительно.
Чем квадрат разности отличается от разности квадратов?
Квадрат разности — это (a − b)² = a² − 2ab + b², в нём есть среднее слагаемое. Разность квадратов — выражение a² − b², которое можно разложить на множители: (a − b)(a + b).
Как раскрыть квадрат, если одно из слагаемых уже содержит коэффициент?
Считай всё слагаемое целиком: например, в (2a − 5b)² вторым слагаемым является 5b. Возведи слагаемые в квадрат, а среднее вычисли как −2 · 2a · 5b.
Как понять, что многочлен можно представить как квадрат двучлена?
Проверь, являются ли крайние слагаемые квадратами некоторых выражений. Затем сравни среднее слагаемое с удвоенным произведением этих выражений: для суммы знак будет плюсом, для разности — минусом.
3.1. Квадрат суммы и квадрат разности
