"Алгебра", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Выделение полного квадрата помогает преобразовать выражение так, чтобы увидеть в нём квадрат двучлена. Для этого используют формулы квадрата суммы и квадрата разности: половину коэффициента при x возводят в квадрат, а добавленное число компенсируют вычитанием. Так можно привести квадратный трёхчлен к виду a(x + m)² + n. Эта запись упрощает преобразования, помогает решать квадратные уравнения и показывает наибольшее или наименьшее значение выражения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Полный квадрат двучлена — выражение вида (a + b)² или (a − b)². При раскрытии скобок получаются формулы a² + 2ab + b² и a² − 2ab + b². Они показывают, как квадрат двучлена связан с формулами сокращённого умножения, и помогают распознавать его в других выражениях.
Выделение полного квадрата — преобразование выражения, при котором несколько его слагаемых записывают как квадрат двучлена. Например, из x² + 6x можно получить квадрат (x + 3)², но при этом нужно учесть добавленное число. Этот приём упрощает выражения и помогает решать задачи, где нужен квадрат двучлена.
Квадратный трёхчлен — выражение ax² + bx + c, где a ≠ 0. Здесь a, b и c — числа, а x — переменная. Выделяя квадрат, такой трёхчлен можно переписать в более удобном виде и увидеть, как его значение зависит от x.
Каноническая форма квадратного трёхчлена — запись a(x + m)² + n. Она получается после выделения полного квадрата, а m и n — числа, зависящие от исходного трёхчлена. В такой записи легко найти значение выражения при x = −m, потому что квадрат в скобках тогда равен нулю.
Начнём с формулы (x + p)² = x² + 2px + p². Если в выражении есть x² + 2px, то оно отличается от раскрытого квадрата только слагаемым p². Значит, чтобы получить исходное выражение, квадрат нужно записать и вычесть p²: x² + 2px = (x + p)² − p². Равенство сохраняется, потому что прибавление и вычитание одного числа взаимно уничтожаются.
Пусть дано x² + bx. При раскрытии (x + p)² коэффициент при x равен 2p, поэтому для совпадения с b нужно взять p = b/2. Тогда квадрат двучлена будет (x + b/2)², а добавленное слагаемое составит (b/2)². Его вычитают: x² + bx = (x + b/2)² − (b/2)². Именно поэтому недостаточно просто взять коэффициент b целиком.
Рассмотрим общий вид ax² + bx + c, где a ≠ 0. Если a вынести за скобки у слагаемых с x, получится a(x² + (b/a)x) + c. Теперь внутри скобок берут половину коэффициента при x, то есть b/(2a), и получают квадрат (x + b/(2a))². Добавленное число вычитают внутри скобок, поэтому запись становится a((x + b/(2a))² − (b/(2a))²) + c.
Вынесенный множитель a действует на всё содержимое скобок, в том числе на вычитаемое число. Поэтому после умножения получаем a(x + b/(2a))² − b²/(4a) + c. Свободное слагаемое нельзя терять: оно складывается с частью, возникшей при компенсации. Так трёхчлен приводится к форме a(x + m)² + n, где m = b/(2a), а n = c − b²/(4a).
Проверка раскрытием скобок нужна потому, что при преобразовании легко потерять знак или свободное слагаемое. Раскрой квадрат, умножь его на внешний коэффициент и приведи подобные слагаемые. Если коэффициенты при x² и x, а также свободное число совпали с исходными, выделение выполнено правильно. Каноническая форма также показывает, где выражение достигает крайнего значения: при x = −m квадрат равен нулю, а при a > 0 получается минимум, при a < 0 — максимум.
| Исходное выражение | Что взять для двучлена | Результат преобразования | Проверка |
|---|---|---|---|
| x² + bx | Половину b: b/2 | (x + b/2)² − (b/2)² | Раскрыть квадрат и сократить противоположные числа |
| x² + bx + c | Половину b: b/2 | (x + b/2)² + c − (b/2)² | Раскрыть квадрат и привести свободные слагаемые |
| ax² + bx + c, где a ≠ 0 | Сначала вынести a; внутри взять b/(2a) | a(x + b/(2a))² + c − b²/(4a) | Раскрыть скобки и сравнить с исходным трёхчленом |
Сначала определи, равен ли коэффициент при x² единице: от этого зависит, нужно ли выносить множитель. Затем найди число для двучлена и не забудь компенсировать добавленное слагаемое. Последний столбец напоминает, как убедиться, что преобразование не изменило исходное выражение.
Задача 1. Выделить полный квадрат в выражении x² + 6x. Коэффициент при x равен 6, поэтому для двучлена понадобится половина этого числа. После возведения половины в квадрат добавленное число нужно вычесть. Запишем преобразование по шагам.
Ответ: x² + 6x = (x + 3)² − 9. Проверка: при раскрытии скобок получается x² + 6x + 9 − 9, то есть исходное выражение.
Задача 2. Представить выражение x² − 8x + 3 в виде квадрата двучлена и числа. Сначала выделим квадрат только в первых двух слагаемых. Половина коэффициента −8 равна −4, поэтому квадрат двучлена будет (x − 4)². При его раскрытии появляется 16, которое нужно компенсировать вычитанием.
Ответ: x² − 8x + 3 = (x − 4)² − 13. При раскрытии квадрата получаем x² − 8x + 16, а вместе с −13 выходит исходное свободное слагаемое 3.
Задача 3. Представить выражение 2x² + 12x + 5 в виде a(x + m)² + n. Коэффициент при x² не равен единице, поэтому вынесем 2 за скобки у слагаемых с x. После этого внутри скобок получится выражение с x² и коэффициентом 6 при x; его и преобразуем.
Ответ: 2x² + 12x + 5 = 2(x + 3)² − 13. Проверка: раскрытие скобок даёт 2(x² + 6x + 9) − 13 = 2x² + 12x + 18 − 13, то есть 2x² + 12x + 5.
Первая ошибка — взять коэффициент при x целиком, а не его половину. Тогда раскрытие выбранного квадрата даст при x удвоенное, а не нужное число; так часто происходит, если забыть формулу (x + p)² = x² + 2px + p². Проверь коэффициент при x в раскрытом квадрате: он должен совпадать с исходным.
Вторая ошибка — добавить число для получения квадрата и не вычесть его. Такое преобразование меняет значение выражения, хотя первые слагаемые выглядят правильно; обычно компенсацию забывают в длинной записи. Раскрой скобки и сравни свободные числа с исходными.
Третья ошибка появляется, когда выносят множитель при x². Можно вынести его только у одного слагаемого с x или забыть, что внешний множитель действует также на вычитаемое число. Сверь оба слагаемых внутри скобок и проверь умножение при раскрытии.
Четвёртая ошибка — перепутать знак при вычитании добавленного числа. Например, x² − 6x = (x − 3)² − 9, а не (x − 3)² + 9: внутри квадрата уже содержится +9. Раскрытие скобок сразу показывает ошибку, потому что прибавление 9 даст лишнее число.
Для выделения квадрата нужны формулы квадрата суммы и квадрата разности, умение раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые. Если эти действия знакомы, можно проверять каждый шаг и следить за свободными числами. Сам приём пригодится при решении квадратных уравнений: он помогает преобразовать их к удобному виду. Он также используется при изучении графика квадратичной функции, поскольку каноническая форма показывает вершину параболы.
Почему для выделения квадрата нужно брать половину коэффициента при x?
При раскрытии (x + p)² получается x² + 2px + p². Чтобы коэффициент при x стал равен b, нужно, чтобы 2p = b, то есть p = b/2. Поэтому берут половину коэффициента и возводят её в квадрат.
Почему после добавления числа его нужно вычесть?
Добавленное число помогает получить квадрат двучлена, но само по себе меняет значение выражения. Если вычесть то же число, прибавление и вычитание взаимно уничтожатся. Исходное выражение останется равным преобразованному.
Как выделить полный квадрат, если коэффициент при x² не равен единице?
Сначала вынеси коэффициент a за скобки у слагаемых с x: ax² + bx + c = a(x² + (b/a)x) + c. Внутри скобок выдели квадрат, взяв половину коэффициента при x, и компенсируй добавленное число. Затем учти множитель a перед скобками.
Можно ли выделить полный квадрат в любом квадратном трёхчлене?
Да, если коэффициент при x² не равен нулю. Сначала его выносят за скобки у слагаемых с x, а затем выделяют квадрат внутри скобок. Этот приём работает и при отрицательном коэффициенте.
Как проверить, что полный квадрат выделен правильно?
Раскрой скобки в полученной записи и приведи подобные слагаемые. Если снова получилось исходное выражение, преобразование выполнено верно. Особенно проверь свободные числа и знаки.
3.2. Выделение полного квадрата
