"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Выделение полного квадрата — способ преобразовать квадратный трёхчлен так, чтобы в нём появился квадрат двучлена. Для этого к выражению добавляют и вычитают квадрат половины коэффициента при x: значение не меняется, зато формула становится заметной. Такой приём помогает решать квадратные уравнения, сравнивать значения выражений и находить их наибольшее или наименьшее значение.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Полный квадрат — выражение, которое можно представить как квадрат некоторого выражения. Например, x² + 6x + 9 — полный квадрат, потому что оно равно (x + 3)². Это понятие помогает заметить структуру выражения и заменить несколько слагаемых одним квадратом.
Квадрат двучлена — выражение вида (a + b)² или (a − b)². Двучленом называют сумму или разность двух частей, например x и 3. Формулы квадрата двучлена позволяют раскрывать скобки и, наоборот, узнавать квадрат по получившемуся выражению.
Выделение полного квадрата — преобразование квадратного трёхчлена к виду квадрата двучлена плюс или минус число. Например, x² + 6x + 5 можно записать как (x + 3)² − 4. Так удобнее решать уравнения и сравнивать значения выражения.
Квадратный трёхчлен — выражение вида x² + px + q, где p и q — числа, а x — переменная. В нём есть квадрат переменной, член с переменной в первой степени и свободное число. Именно для такого выражения применяют основной приём этого параграфа.
Формулы квадрата суммы и квадрата разности помогают узнать полный квадрат по трём слагаемым: x² + 2ax + a² = (x + a)² и x² − 2ax + a² = (x − a)². Первое слагаемое должно быть квадратом x, а последнее — квадратом числа a. Средний член проверяет догадку: он должен равняться удвоенному произведению x и a, со знаком плюс или минус. Если все три части совпали, трёхчлен можно свернуть в квадрат двучлена.
В выражении x² + px может не хватать последнего слагаемого для формулы квадрата. Можно добавить подходящее число, но тогда значение выражения увеличится. Поэтому то же самое число сразу вычитают: запись x² + px + c − c равна исходной, ведь прибавление и вычитание c взаимно уничтожаются. Добавленную часть используют для получения квадрата, а оставшуюся учитывают отдельно.
Чтобы найти добавляемое число, сравним px с удвоенным произведением 2ax из формулы квадрата двучлена. Тогда 2a = p, то есть a = p/2, а последний член квадрата равен a² = p²/4. Значит, к x² + px нужно добавить и вычесть p²/4. Берут именно половину коэффициента, потому что средний член формулы содержит удвоенное число.
Теперь применим приём к x² + px + q: добавим и вычтем p²/4, а первые три части соберём в квадрат. Получим x² + px + q = (x + p/2)² + q − p²/4. Чтобы проверить равенство, можно раскрыть скобки: квадрат даст x² + px + p²/4, а оставшиеся числа сократятся до q. Эта запись верна при любых числах p и q.
Квадрат двучлена удобен в уравнениях: вместо трёх слагаемых получается квадрат, который можно приравнять числу. Если квадрат равен положительному числу, возникают два случая — двучлен равен положительному или отрицательному корню. При исследовании значений выражения квадрат неотрицателен, поэтому его минимальное значение равно нулю, а это помогает оценить всё выражение. Например, вид (x + 3)² − 4 сразу показывает, что значение не может быть меньше −4.
| Исходное выражение | Добавляемый и вычитаемый член | Преобразованный вид | Используемая формула |
|---|---|---|---|
| x² + 2ax + a² | Добавлять не нужно | (x + a)² | Квадрат суммы |
| x² − 2ax + a² | Добавлять не нужно | (x − a)² | Квадрат разности |
| x² + px + q | p²/4 | (x + p/2)² + q − p²/4 | Квадрат суммы |
| Квадратный трёхчлен с произвольным коэффициентом q | Сначала p²/4; затем учесть q | (x + p/2)² + q − p²/4 | Квадрат двучлена и приведение подобных |
| Квадратный трёхчлен, приведённый к виду (x + a)² + b | Подобранный квадрат a²; его добавляют и вычитают | (x + a)² + b | Квадрат суммы или разности |
Сначала проверь, не является ли выражение уже квадратом суммы или разности. Если оно имеет вид x² + px + q, найди половину p, возведи её в квадрат и используй формулу для общего случая. В последней строке таблицы знак числа a подсказывает, раскрывать квадрат суммы или квадрат разности.
Коэффициент при x равен 6, поэтому для формулы квадрата нужно взять половину этого числа. Добавим и вычтем квадрат полученной половины: так выражение не изменится. Затем первые три слагаемых объединим в квадрат суммы.
Ответ: (x + 3)² − 4. Проверка раскрытием скобок возвращает x² + 6x + 5, значит, преобразование выполнено верно.
Средний член отрицательный, поэтому ожидаем квадрат разности. Число перед x равно −8, а половина его модуля равна 4; именно эта величина станет вторым членом двучлена. После выделения квадрата отдельно вычислим остаток.
Ответ: (x − 4)² − 3. Знак минус внутри скобок нужен, потому что средний член исходного выражения отрицательный.
Сначала преобразуем левую часть так, чтобы квадрат двучлена был отделён от числа. Затем перенесём число вправо и решим уравнение с квадратом. Поскольку квадрат может получиться при двух противоположных значениях двучлена, проверим оба случая.
Ответ: 1 и −5. Подстановка каждого числа в исходное уравнение даёт верное равенство.
Добавляют число, но забывают его вычесть. Тогда значение выражения меняется, хотя преобразование должно сохранять исходное равенство. Такая ошибка возникает, когда внимание сосредоточено только на создании квадрата. Проверка: убедись, что к выражению добавлено и вычтено одно и то же число.
Возводят в квадрат весь коэффициент при x. Например, для x² + 6x берут 6² вместо (6/2)². Это происходит из-за того, что забывают: в формуле средний член содержит удвоенное произведение. Проверь результат: раскрой полученный квадрат и сравни коэффициент при x с исходным.
Неверно выбирают знак квадрата. При отрицательном коэффициенте при x иногда записывают квадрат суммы, и после раскрытия появляется положительный средний член. Причина — невнимание к знаку или механическое применение одной формулы. Раскрой скобки и проверь, совпадает ли знак члена с x.
При извлечении корня оставляют только один случай. Из (x + a)² = b записывают лишь x + a = √b, хотя квадрат равен b и при значении −√b. Так теряется одно решение уравнения. Проверяй себя: при b > 0 запиши оба равенства и подставь найденные корни в исходное уравнение.
Для выделения квадрата нужны формулы квадрата суммы и квадрата разности, раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых. Поэтому перед преобразованием полезно проверить знаки и вычислить квадрат числа без ошибок. Полученный вид помогает решать квадратные уравнения и неравенства, заменяя трёхчлен квадратом и числом. Также он пригодится при поиске наибольшего и наименьшего значения: квадрат не бывает отрицательным.
Почему нужно добавлять именно квадрат половины коэффициента при x?
В формуле квадрата двучлена средний член равен удвоенному произведению: (x + a)² = x² + 2ax + a². Поэтому коэффициент при x нужно разделить на 2, а результат возвести в квадрат. Так получается недостающий последний член формулы.
Зачем после добавления числа вычитать его обратно?
Если только добавить число, значение исходного выражения изменится. Добавление и вычитание одного и того же числа взаимно компенсируются, поэтому выражение остаётся прежним. При этом добавленную часть можно объединить с x² и членом с x в квадрат двучлена.
Как понять, использовать квадрат суммы или квадрат разности?
Посмотри на знак коэффициента при x. При положительном коэффициенте обычно подходит квадрат суммы, например (x + 3)², а при отрицательном — квадрат разности, например (x − 4)². После раскрытия скобок проверь, совпадает ли знак среднего члена.
Можно ли выделить полный квадрат, если перед x² стоит коэффициент?
Да. Сначала вынеси коэффициент перед x² за скобки у квадратных и линейных членов, а затем выдели квадрат внутри скобок. Например, 2x² + 8x + 3 = 2(x + 2)² − 5.
Почему при извлечении корня появляются два значения?
И положительное, и отрицательное числа при возведении в квадрат дают одно и то же значение. Поэтому из уравнения (x + a)² = b при b > 0 следует x + a = √b или x + a = −√b. Нужно рассмотреть оба случая, иначе одно решение потеряется.
6.3. Выделение полного квадрата
