6.4. Разность квадратов

Определения и обозначения

Разностью квадратов называют выражение вида a² − b², где a и b — числа или выражения, а знак между квадратами — минус. Например, x² − 16 — разность квадратов, потому что 16 = 4², а x² — квадрат выражения x. Это название помогает сразу заметить подходящую формулу и не пытаться раскрывать выражение длинными вычислениями.

Формула разности квадратов записывается так: a² − b² = (a − b)(a + b). Буквы a и b обозначают любые числа или выражения: вместо них можно подставить, например, x и 5. Формула превращает разность квадратов в произведение разности и суммы. Она нужна, чтобы раскладывать выражения на множители, упрощать вычисления и решать задачи, где произведение удобнее суммы или разности.

Как это устроено

Формулу можно понять, раскрыв скобки в правой части: (a − b)(a + b) = a² + ab − ab − b². Слагаемые +ab и −ab имеют одинаковую величину и противоположные знаки, поэтому их сумма равна нулю. Остаётся a² − b², то есть исходная разность. Значит, формула работает не случайно: средние слагаемые исчезают именно благодаря сочетанию суммы и разности.

Чтобы разложить выражение, сначала проверь оба его слагаемых. Каждое должно быть квадратом: например, 9x² = (3x)², а 25 = 5². Затем убедись, что между квадратами стоит минус, и подставь основания квадратов вместо a и b. Так, x² − 25 превращается в (x − 5)(x + 5). Если не распознать квадрат одного из слагаемых, формулу применить не получится.

Иногда перед разложением нужно вынести общий множитель. Например, в выражении 3x² − 12 оба слагаемых делятся на 3, поэтому получаем 3(x² − 4). В скобках осталась разность квадратов: x² − 4 = x² − 2². Теперь её можно разложить, и итог будет 3(x − 2)(x + 2). Такой порядок нужен, потому что формула применяется к квадратам внутри скобок, а вынесенный множитель сохраняется.

Формула полезна и для вычислений. Если числа одинаково удалены от одного числа, их можно представить как сумму и разность: например, 52 · 48 = (50 + 2)(50 − 2). По формуле это равно 50² − 2², то есть 2500 − 4 = 2496. Такой способ удобен, когда квадраты посчитать легче, чем перемножать исходные числа столбиком.

Подсказка: как применить формулу

Пользуйся таблицей как коротким маршрутом: найди общий множитель, если он есть, затем проверь, что в скобках стоят два квадрата с минусом между ними. После этого подставь основания квадратов в формулу. Если дано уже произведение суммы и разности, формулу можно применить в обратную сторону.

Разбор задач

Задача. Разложи на множители выражение 5x² − 45 и проверь результат раскрытием скобок. Сначала здесь не получается сразу применить формулу ко всему выражению: перед x² стоит 5, а числа 5 и 45 сами по себе не являются двумя нужными квадратами в записи. Поэтому сначала стоит поискать общий множитель. Такой шаг помогает увидеть разность квадратов внутри скобок.

1. Вынесем общий множитель 5: 5x² − 45 = 5(x² − 9). Оба слагаемых исходного выражения делятся на 5, поэтому равенство сохраняется.
2. Проверим выражение в скобках: x² — квадрат x, а 9 = 3². Между ними стоит минус, значит, можно использовать формулу разности квадратов.
3. Подставим a = x и b = 3 в формулу a² − b² = (a − b)(a + b). Получаем x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
4. Не забудем множитель 5, который вынесли в начале: 5x² − 45 = 5(x − 3)(x + 3). Именно его потеря изменила бы исходное выражение.
5. Проверим ответ. Сначала раскроем скобки: (x − 3)(x + 3) = x² − 9, потому что произведение равно разности квадратов. Умножаем результат на 5 и получаем 5x² − 45, как в условии.

Ответ: 5(x − 3)(x + 3). В задаче важно было не только узнать квадраты, но и сохранить вынесенный общий множитель. Проверка раскрытием скобок показывает, что разложение верно и в результате получается исходное выражение. Если проверка даёт другой коэффициент или знак, нужно найти место, где потерялся множитель либо была неверно записана сумма или разность.

Типичные ошибки

• Применяют формулу при знаке плюс: a² + b² ошибочно записывают как (a − b)(a + b). Так делают, потому что запоминают вид множителей, но забывают условие о разности. Проверь себя раскрытием скобок: произведение суммы и разности даёт a² − b², а не a² + b².

• Путают разность квадратов с квадратом разности: считают, что a² − b² = (a − b)². Ошибка возникает из-за похожих слов и одинаковых букв. Раскрой скобки: (a − b)² = a² − 2ab + b², поэтому эта запись обычно не равна разности квадратов.

• Забывают вынести общий множитель или теряют его после разложения. Например, из 3(x² − 4) ошибочно получают только (x − 2)(x + 2). Чтобы проверить себя, умножь полученное разложение обратно и сравни его с исходным выражением: коэффициент 3 должен остаться.

• Неверно находят основания квадратов: например, принимают 9 за основание вместо 3, хотя 9 = 3². Это происходит, если подставляют само значение квадрата, а не число, которое возводили в квадрат. Проверь каждый найденный квадрат обратным действием: 3² действительно равно 9.

Связь с другими темами

Разность квадратов связана с умножением многочленов: раскрывая скобки, можно проверить или получить формулу (a − b)(a + b) = a² − b². Она также продолжает тему вынесения общего множителя, поскольку иногда сначала нужно упростить выражение и только потом увидеть квадраты. Вместе с формулами квадрата суммы и квадрата разности эта формула относится к формулам сокращённого умножения. Умение раскладывать выражения на множители пригодится при решении уравнений и упрощении алгебраических дробей.

Что запомнить

• Разность квадратов имеет вид a² − b².
• Главная формула: a² − b² = (a − b)(a + b).
• Перед применением проверь, что оба слагаемых — квадраты и между ними стоит минус.
• Если есть общий множитель, сначала вынеси его и не теряй при разложении.
• Проверяй ответ раскрытием скобок.