3.4. Разность квадратов

Определения и обозначения

Разность квадратов — выражение вида a² − b², где из одного квадрата вычитают другой. Например, x² − 25 — разность квадратов, если представить 25 как 5². Это название помогает узнать, к какому виду относится выражение, и выбрать подходящий способ преобразования.

Формула разности квадратов — равенство a² − b² = (a − b)(a + b), позволяющее представить разность квадратов в виде произведения. Буквы a и b могут обозначать числа или выражения, например 3x и 2y. Формула нужна, чтобы быстро разложить подходящее выражение на множители.

Сопряжённые двучлены — двучлены a − b и a + b, у которых одинаковые слагаемые, но противоположные знаки между ними. Например, x − 4 и x + 4 — сопряжённые. Это понятие подсказывает, как записать оба множителя в формуле и не перепутать знаки.

Разложение на множители — представление выражения в виде произведения выражений. Например, запись x² − 25 = (x − 5)(x + 5) показывает такое разложение. Для разности квадратов используют формулу a² − b² = (a − b)(a + b), превращая разность в произведение.

Как это устроено

Чтобы понять связь квадратов суммы и разности, раскроем скобки: (a + b)² = a² + 2ab + b², а (a − b)² = a² − 2ab + b². В обоих выражениях есть одинаковые квадраты a² и b², поэтому при сравнении они не влияют на разницу. Меняются только средние слагаемые: одно равно 2ab, другое — −2ab. Поэтому квадрат суммы больше квадрата разности на 4ab, то есть на удвоенное произведение 2ab, взятое дважды.

Формулу разности квадратов можно получить, раскрыв произведение сопряжённых двучленов. В произведении (a − b)(a + b) каждое слагаемое первой скобки умножают на каждое слагаемое второй. Получается a² + ab − ab − b², а слагаемые ab и −ab дают в сумме ноль. Остаётся a² − b², поэтому разность квадратов и равна произведению (a − b)(a + b).

Чтобы распознать разность квадратов, проверь два признака: в выражении два члена, и между ними стоит минус. Затем выясни, можно ли каждый член представить как квадрат числа или выражения, и найди основания квадратов. Например, в 9x² − 16 основания — 3x и 4, потому что 9x² = (3x)², а 16 = 4². Если второй член не является квадратом в подходящем виде, формулу пока применять нельзя.

Когда основания найдены, поставь их в две скобки: сначала запиши их разность, затем сумму. Так, x² − 25 превращается в (x − 5)(x + 5), поскольку x² = x², а 25 = 5². В выражении 9a² − 4b² основания — 3a и 2b, поэтому результатом будет (3a − 2b)(3a + 2b). Именно основания, а не исходные квадраты, попадают в множители.

Иногда выражение не сразу выглядит как разность квадратов, но его можно сначала преобразовать. Если у всех членов есть общий множитель, вынеси его за скобки и проверь выражение внутри скобок. Например, в 3x² − 75 общий множитель равен 3, после вынесения получаем 3(x² − 25). Внутреннее выражение уже является разностью квадратов, и к нему можно применить формулу.

Применение формулы разности квадратов

Сначала найдите основания квадратов в среднем столбце, а затем подставьте их вместо a и b в формулу. Следите за знаком между исходными квадратами: для этой формулы нужен минус. В строке с суммой квадратов видно, что одного наличия квадратов недостаточно.

Разбор задач

Задача. Разложите на множители выражение x² − 36. Нужно выяснить, можно ли представить оба члена как квадраты, а затем записать множители. Поскольку 36 = 6², основание второго квадрата равно 6, а основание первого — x.

1. Проверяем вид выражения: перед нами два члена, соединённые знаком минус.
2. Представляем оба члена квадратами: x² = x², а 36 = 6². Значит, выражение имеет вид a² − b² при a = x и b = 6.
3. Записываем произведение разности и суммы оснований: x² − 36 = (x − 6)(x + 6).

Ответ: (x − 6)(x + 6). Проверка раскрытием скобок даёт x² + 6x − 6x − 36 = x² − 36, то есть исходное выражение.

Задача. Разложите на множители выражение 25a² − 49b². Здесь оба члена содержат буквы, поэтому важно найти квадрат всего буквенного выражения, а не только числового коэффициента. Основаниями будут 5a и 7b, так как их квадраты равны исходным членам.

1. Проверяем знак: между членами стоит минус, значит, формула может подойти.
2. Представляем члены как квадраты: 25a² = (5a)², 49b² = (7b)². Основания разности квадратов — 5a и 7b.
3. Подставляем основания в формулу: 25a² − 49b² = (5a − 7b)(5a + 7b).

Ответ: (5a − 7b)(5a + 7b). При раскрытии скобок произведения средние слагаемые взаимно уничтожатся, а квадраты оснований восстановят исходные члены.

Задача. Разложите на множители выражение 3x² − 75. В исходном выражении есть общий множитель 3, поэтому сначала удобно вынести его за скобки. После этого внутри скобок останется знакомая разность квадратов.

1. Находим общий множитель: оба члена делятся на 3. Выносим его: 3x² − 75 = 3(x² − 25).
2. Проверяем выражение в скобках: x² − 25 = x² − 5². Это разность квадратов с основаниями x и 5.
3. Применяем формулу, сохраняя вынесенный множитель: 3(x² − 25) = 3(x − 5)(x + 5).

Ответ: 3(x − 5)(x + 5). При проверке сначала можно раскрыть две скобки: получится 3(x² − 25), а после умножения на 3 — 3x² − 75.

Типичные ошибки

Ошибка: записать a² − b² как (a − b)². Так путают разность квадратов с квадратом разности, который раскрывается иначе: (a − b)² = a² − 2ab + b². Проверьте себя раскрытием скобок: если появляется средний член, такая запись не равна a² − b². Правильное разложение содержит два множителя.

Ошибка: записать оба множителя с минусом и получить (a − b)(a − b). Обычно так происходит, если забыть, что в формуле используются сопряжённые двучлены. При раскрытии такой записи получится a² − 2ab + b², а не разность квадратов. Проверьте знаки: в одном множителе между основаниями должен быть минус, в другом — плюс.

Ошибка: применить формулу к сумме квадратов a² + b². Ученик может заметить квадраты и не обратить внимания на знак между ними. Но формула работает для разности, поэтому запись (a − b)(a + b) дала бы a² − b², а не сумму. Перед разложением обязательно проверьте, стоит ли между членами минус.

Ошибка: принять x² − 9x² за разность квадратов с основаниями x и 9x. Второй член здесь равен (3x)², а не (9x)²: квадрат 9x равен 81x². Если исходный член действительно 9x², его основание — 3x, и исходное выражение упрощается до −8x². Сверяйте квадрат каждого выбранного основания с соответствующим членом до применения формулы.

Связь с другими темами

Для работы с разностью квадратов нужно уметь возводить одночлены и двучлены в квадрат, распознавать квадрат числа или буквенного выражения и раскрывать скобки. Эти действия помогают находить основания квадратов и проверять преобразования. Позже формула пригодится при разложении многочленов на множители, сокращении дробей и решении уравнений. Поэтому полезно не только запоминать формулу, но и понимать, как она получается.

Что запомнить

• a² − b² = (a − b)(a + b).
• В формуле разности квадратов второй множитель — сумма оснований.
• Перед разложением проверь, что оба члена действительно являются квадратами.
• Знак между квадратами должен быть минусом.
• Если есть общий множитель, часто удобно вынести его до применения формулы.
• Правильность разложения можно проверить раскрытием скобок.