"Алгебра", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Разность кубов и сумма кубов — это выражения, в которых складываются или вычитаются два куба: a³ − b³ и a³ + b³. Специальные формулы превращают их в произведение двух множителей. Это помогает раскладывать многочлены на множители, упрощать выражения и быстро выполнять преобразования. Главное — правильно представить каждый член как куб и не перепутать знаки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Разность кубов — выражение вида a³ − b³. Оно является разностью двух кубов: из куба a вычитают куб b. Такое обозначение подсказывает, какую формулу разложения нужно выбрать.
Сумма кубов — выражение вида a³ + b³. Это сумма двух кубов, то есть к кубу a прибавляют куб b. Узнавание такого вида позволяет заменить выражение произведением множителей.
Формула разности кубов — тождество a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²). Тождество верно при любых значениях a и b, потому что левая и правая части равны. Формула нужна, чтобы разложить разность кубов на множители.
Формула суммы кубов — тождество a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²). В первом множителе сохраняется знак суммы, а во втором появляются три слагаемых с чередованием знаков. С её помощью сумму кубов также представляют в виде произведения.
Рассмотрим произведение (a − b)(a² + ab + b²). Раскроем скобки: a·a² + a·ab + a·b² − b·a² − b·ab − b·b². Получится a³ + a²b + ab² − a²b − ab² − b³, а смешанные слагаемые a²b и ab² взаимно уничтожатся. Останется a³ − b³.
Теперь раскроем (a + b)(a² − ab + b²). После умножения получаем a³ − a²b + ab² + a²b − ab² + b³. Слагаемые −a²b и a²b, а также ab² и −ab² сокращаются, поэтому остаётся a³ + b³. Именно для такого сокращения во втором множителе нужны знаки плюс, минус, плюс.
Чтобы распознать нужный вид, представьте каждый член как куб. Например, 27 = 3³, 8x³ = (2x)³, а 125y³ = (5y)³. Затем посмотрите на знак между кубами: минус означает разность, плюс — сумму. Если хотя бы один член не удалось записать кубом, эти формулы сразу применять нельзя.
Основания кубов могут быть не отдельными числами, а выражениями. В выражении (2x)³ − y³ роль a выполняет 2x, а роль b — y, поэтому результатом будет (2x − y)(4x² + 2xy + y²). Сначала подставляйте основания целиком, а затем аккуратно возводите их в квадрат внутри второго множителя.
Проверка нужна, чтобы обнаружить неверный знак или основание куба. Умножьте первый множитель на каждый член второго, затем сложите результаты и приведите подобные слагаемые. Если смешанные слагаемые сократились, а остались ровно исходные кубы с исходным знаком, разложение верно.
| Вид выражения | Разложение на множители | Знаки в множителях |
|---|---|---|
| a³ − b³ | (a − b)(a² + ab + b²) | В первом множителе минус, во втором плюсы |
| a³ + b³ | (a + b)(a² − ab + b²) | В первом множителе плюс, во втором чередуются знаки +, −, + |
Сначала определите знак между кубами, затем найдите их основания. В первом множителе поставьте этот же знак, а во втором используйте соответствующую строку таблицы. После подстановки полезно выполнить проверку раскрытием скобок.
Условие: нужно разложить разность x³ − 8 на множители. Число 8 представим как куб числа 2, поэтому выражение имеет вид x³ − 2³.
Ответ: x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4).
Условие: требуется разложить сумму 27a³ + b³. Первое слагаемое является кубом выражения 3a, потому что (3a)³ = 27a³.
Ответ: 27a³ + b³ = (3a + b)(9a² − 3ab + b²).
Условие: нужно разложить выражение и убедиться, что множители дают исходный многочлен. Здесь 8x³ = (2x)³, а 125y³ = (5y)³, значит перед нами разность кубов.
Ответ: 8x³ − 125y³ = (2x − 5y)(4x² + 10xy + 25y²).
Ошибка: в разности кубов записывают a² − ab + b². Так происходит, когда формулы суммы и разности смешивают между собой. Проверьте себя раскрытием скобок: при правильной записи перед ab должен быть плюс, чтобы смешанные слагаемые сократились.
Ошибка: в формуле суммы кубов ставят плюс перед ab. Тогда при умножении появляются несокращающиеся дополнительные слагаемые, и исходная сумма не получается. Сверяйтесь со схемой знаков +, −, + во втором множителе.
Ошибка: считают, что 8x³ = (8x)³. Кубический корень нужно извлечь и из числа, и из коэффициента: 8x³ = (2x)³, поскольку 2³ = 8. Для проверки возведите найденное основание обратно в куб.
Ошибка: после применения формулы не проверяют результат. Из-за этого незамеченными остаются неверные знаки или неправильно выбранные основания. Раскройте скобки и убедитесь, что все смешанные слагаемые уничтожились.
До изучения формул нужно уметь возводить одночлены в куб и представлять числа как кубы. Это помогает быстро находить основания, например записывать 27a³ как (3a)³.
При доказательстве и проверке используется распределительное свойство умножения и раскрытие скобок. Без этих действий трудно понять, почему смешанные слагаемые сокращаются.
Формулы применяются при разложении многочленов на множители и упрощении алгебраических выражений. Они позволяют заменить громоздкий многочлен удобным произведением.
Как понять, что выражение является разностью кубов?
Нужно проверить, можно ли каждый член представить как куб некоторого числа или выражения. Если между кубами стоит знак минус, это разность кубов: a³ − b³.
Почему в формуле разности кубов перед ab стоит плюс?
При раскрытии скобок смешанные слагаемые ab² и −a²b уничтожают друг друга. Поэтому во втором множителе разности кубов перед ab должен стоять плюс.
Чем отличаются формулы суммы и разности кубов?
В первом множителе знак совпадает со знаком между кубами. Во втором множителе для разности стоят только плюсы, а для суммы знаки чередуются: +, −, +.
Можно ли применять формулы, если вместо a и b стоят выражения?
Да, буквами a и b могут быть любые числа, одночлены или другие выражения. Например, вместо a можно подставить 2x, а вместо b — 5y.
Как быстро проверить разложение на множители?
Раскройте скобки в полученном произведении и приведите подобные слагаемые. Если результат совпал с исходным выражением, разложение выполнено верно.
3.5. Разность кубов и сумма кубов
