§ 11. Разность квадратов

Определения и обозначения

Разность квадратов — выражение вида a² − b², где a и b — любые выражения. Например, x² − 25 — разность квадратов, потому что 25 можно представить как 5². Это название помогает сразу заметить особый вид выражения и выбрать подходящее преобразование.

Произведение суммы и разности — произведение двух скобок (a − b)(a + b), в которых стоят одни и те же выражения с противоположными знаками. В одной скобке из a вычитают b, а в другой к a прибавляют b. Такое название напоминает, какие именно два множителя нужно записать при разложении разности квадратов.

Формула разности квадратов — тождество a² − b² = (a − b)(a + b), позволяющее заменить разность квадратов произведением. Тождество означает равенство, верное при любых значениях входящих в него выражений. Формула нужна, чтобы быстрее раскладывать многочлены на множители и выполнять другие преобразования.

Как это устроено

Раскроем скобки в произведении (a − b)(a + b): каждый член первой скобки умножается на каждый член второй. Получается a² + ab − ab − b². Слагаемые −ab и +ab взаимно уничтожаются, потому что их сумма равна нулю, и остаётся a² − b². Именно поэтому произведение суммы и разности связано с разностью квадратов.

Формулу можно применять в обратном направлении, когда нужно разложить выражение на множители. Сначала найди два квадрата, затем определи их основания — числа или выражения, которые возвели в квадрат. После этого запиши произведение разности оснований и их суммы. Например, x² − 36 превращается в (x − 6)(x + 6), поскольку 36 = 6².

Основаниями квадратов могут быть целые выражения, а не только отдельные числа и буквы. Если A = 2a − 1, а B = 3b, выражение A² − B² раскладывается как (A − B)(A + B). При подстановке нужно сохранить границы каждого основания: получаем (2a − 1 − 3b)(2a − 1 + 3b). Скобки помогают не потерять часть выражения и правильно расставить знаки.

Перед применением формулы проверь обе части выражения. Первое и второе слагаемые должны быть квадратами, а между ними должен стоять знак минус. Например, x² − 25 подходит, но x² + 25 — нет, хотя оба слагаемых являются квадратами. Такая проверка не даёт принять сумму квадратов за разность.

Разложение на множители удобно, когда произведение проще исходного выражения. Например, в вычислении 51² − 49² вместо двух отдельных квадратов можно получить (51 − 49)(51 + 49) = 2 · 100. При упрощении алгебраических выражений формула также помогает увидеть общие множители. Сначала преобразуй выражение, а затем выполняй сокращение или вычисления.

Разность квадратов: распознавание и преобразование

Пользуйся таблицей как коротким планом: сначала определи, что именно дано, затем проверь признаки и выбери направление формулы. Если основания состоят из нескольких частей, мысленно обозначь их буквами A и B. Это помогает точно записать оба множителя и не перепутать знаки.

Разбор задач

Задача 1. Разложите на множители x² − 49. Нужно представить оба слагаемых как квадраты и назвать их основания. После этого применим формулу разности квадратов.

1. Запишем выражение как x² − 7², так как 49 = 7².
2. Подставим основания x и 7 в формулу: x² − 7² = (x − 7)(x + 7).
3. Проверим, что записаны оба множителя — разность и сумма оснований.

Ответ: (x − 7)(x + 7).

Задача 2. Разложите на множители (2a − 1)² − 9b². Основания квадратов здесь состоят из выражений, поэтому заменим их буквами A и B. Так легче применить знакомую формулу, не потеряв части оснований.

1. Представим выражение как (2a − 1)² − (3b)², поскольку 9b² = (3b)².
2. Положим A = 2a − 1 и B = 3b. По формуле A² − B² = (A − B)(A + B).
3. Подставим основания, сохраняя скобки: (2a − 1 − 3b)(2a − 1 + 3b).

Ответ: (2a − 1 − 3b)(2a − 1 + 3b).

Задача 3. Упростите выражение (5x − 2)(5x + 2) − 25x². В первых двух скобках стоят разность и сумма одних выражений. Свернём их в разность квадратов, а затем сравним получившиеся слагаемые.

1. Применим формулу в обратном направлении: (5x − 2)(5x + 2) = (5x)² − 2².
2. Вычислим квадраты: (5x)² − 2² = 25x² − 4. Теперь исходное выражение равно 25x² − 4 − 25x².
3. Сократим противоположные слагаемые 25x² и −25x². Останется −4.

Ответ: −4.

Типичные ошибки

• Применяют формулу к сумме квадратов. В выражении a² + b² нет вычитания, хотя оба слагаемых и правда могут быть квадратами. Ошибку легко допустить, если замечать только квадраты и не смотреть на знак между ними. Проверь знак: формула подходит для минуса, но не для плюса.
• Записывают a² − b² как (a − b)². Эти выражения похожи по записи, поэтому их путают. Но квадрат разности раскрывается как a² − 2ab + b², а не как a² − b². Для проверки раскрой скобки и сравни все слагаемые.
• Забывают один множитель или записывают два одинаковых. Например, одной скобки (a − b) недостаточно, а запись (a − b)(a − b) означает квадрат разности. По формуле должны одновременно появиться разность и сумма одних оснований.
• Не заключают сложное основание в скобки. Тогда при подстановке можно потерять часть выражения или неправильно изменить знак. Сначала обозначь всё основание одной буквой, а затем подставь его целиком в обе скобки. Для проверки сравни запись с формой (A − B)(A + B).

Связь с другими темами

Чтобы работать с разностью квадратов, нужно уметь возводить одночлены и выражения в квадрат, раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые. Формула помогает раскладывать многочлены на множители, а такое разложение может упростить сокращение алгебраических дробей. Связь с формулами квадрата суммы и квадрата разности позволяет проверять результат раскрытием скобок: так видно, совпадает ли исходное выражение с полученным.

Что запомнить

• Разность квадратов имеет вид a² − b².
• a² − b² = (a − b)(a + b).
• Формулу можно применять в обе стороны.
• Перед применением убедитесь, что оба слагаемых — квадраты.
• Основаниями квадратов могут быть целые выражения.
• Сумму квадратов по этой формуле разложить нельзя.