24. Умножение разности двух выражений на их сумму

Определения и обозначения

Разность двух выражений — результат вычитания одного выражения из другого; в произведении её записывают в скобках, например (a − b). Буквы a и b обозначают выражения, а не обязательно отдельные числа. Скобки показывают, что именно вычитается и что будет одним из множителей.

Сумма двух выражений — результат их сложения; в этой теме рассматривается сумма тех же выражений, что и в разности: (a + b). Так, выражения a и b сначала соединены знаком плюс, а затем встретятся в разности со знаком минус. Совпадение выражений в обеих скобках и позволяет применить формулу.

Произведение суммы и разности — выражение вида (a − b)(a + b), где в скобках стоят одни и те же выражения с противоположными знаками. Это частный случай умножения многочленов, то есть выражений, состоящих из слагаемых. Чтобы узнать его результат, можно каждый раз раскрывать скобки, но формула позволяет сделать это быстрее.

Разность квадратов — выражение вида a² − b², получающееся при умножении разности двух выражений на их сумму. Здесь a² означает произведение a на само себя, и так же понимается b². Это название помогает распознать результат и, если понадобится, выполнить обратное преобразование.

Как это устроено

Раскроем скобки в произведении (a − b)(a + b), пользуясь распределительным свойством: каждый член первой скобки умножается на каждый член второй. Сначала получаем a · a и a · b, затем −b · a и −b · b. Итак, (a − b)(a + b) = a² + ab − ba − b². Такой способ показывает, откуда берётся каждый член результата, а не просто сообщает готовую формулу.

Члены ab и −ba — противоположные: умножение можно выполнять в любом порядке, поэтому ba = ab. Один член прибавляется, а другой вычитается, и их сумма равна нулю: ab − ab = 0. После их сокращения остаются a² и −b², то есть a² − b². Поэтому квадраты не складываются: знак перед квадратом b получается из произведения −b · b.

Результат можно записать как тождество: (a − b)(a + b) = a² − b². Тождество — это равенство, верное при любых допустимых значениях входящих в него букв. Здесь никакого особого значения a или b не требуется: раскрытие скобок и сокращение противоположных членов работают всегда. Формула полезна, когда структура произведения уже видна и длинное раскрытие скобок можно заменить коротким вычислением.

Вместо a и b могут стоять более сложные выражения. Например, в (x + 3)(x − 3) выражениями служат x и 3, только порядок скобок записан как сумма, затем разность. По формуле произведение равно x² − 3² = x² − 9. При таком применении нужно возвести в квадрат каждое выражение целиком, а не пытаться менять формулу из-за букв или порядка множителей.

Формулу можно использовать и наоборот: разность квадратов a² − b² превращается в произведение (a − b)(a + b). Это возможно потому, что обратное раскрытие скобок снова даёт a² − b², а смешанные члены сокращаются. Например, чтобы разложить 25m² − 49n², замечаем, что это (5m)² − (7n)². Значит, выражение записывается как (5m − 7n)(5m + 7n).

Умножение разности двух выражений на их сумму

Таблица связывает вид скобок с результатом и показывает, в каком направлении можно выполнить преобразование. Сначала определите, дано ли произведение или уже готовая разность квадратов. Если выражения в скобках совпадают, но знаки между ними разные, применяйте формулу; для обратного шага проверьте, что оба члена являются квадратами.

Разбор задач

Задача 1. Упростить произведение (x − 5)(x + 5).

1. Сравним скобки: в обеих есть x и 5, но между ними стоят разные знаки. Значит, это произведение разности и суммы.
2. Применим формулу (a − b)(a + b) = a² − b², считая a = x, b = 5. Каждый из двух членов возводим в квадрат.
3. Получаем x² − 5² = x² − 25. Проверка раскрытием скобок тоже даёт x² + 5x − 5x − 25.

Ответ: x² − 25.

Задача 2. Упростить выражение (2a + 3)(2a − 3).

1. Здесь роль первого выражения играет 2a, а второго — 3. В скобках стоят их сумма и разность, поэтому формула подходит.
2. Подставляем в формулу именно эти выражения: (2a)² − 3². Нельзя заменить (2a)² на 2a², потому что квадрат относится ко всему выражению 2a.
3. Вычисляем квадраты: (2a)² = 4a², а 3² = 9. Значит, после вычитания получаем 4a² − 9.

Ответ: 4a² − 9.

Задача 3. Представить выражение 25m² − 49n² в виде произведения.

1. Узнаём разность квадратов: 25m² = (5m)², а 49n² = (7n)². Корнями здесь являются целые выражения 5m и 7n.
2. В обратной формуле первый множитель — разность этих корней, а второй — их сумма. Записываем (5m − 7n)(5m + 7n).
3. Проверим результат: раскрытие скобок даст 25m², смешанные члены сократятся, а последний член будет −49n². Значит, исходное выражение восстановлено.

Ответ: (5m − 7n)(5m + 7n).

Типичные ошибки

Иногда записывают (a − b)(a + b) = a² + b², забывая знак перед квадратом b. Так происходит, если замечают только два квадрата и не следят за умножением −b на b. Проверьте раскрытием скобок: последний член равен −b², а ab и −ab сокращаются. Поэтому правильный результат — a² − b².

Другая ошибка — считать квадрат суммы равным a² + b². Но в выражении (a + b)² множитель a + b повторяется дважды, и при раскрытии появляется ещё 2ab. Формула разности квадратов применяется к произведению суммы и разности, а не к квадрату одной скобки. Для проверки раскройте скобки по распределительному свойству.

Если в скобке стоит сложное выражение, можно неверно определить границы a и b. Например, в произведении с выражением x + 3 за a следует принять всю сумму, если именно она повторяется в обеих скобках. Сравните скобки целиком и обведите одинаковые выражения мысленно. При вычислении квадрата также не теряйте ни одного слагаемого внутри скобки.

При обратном разложении иногда записывают только разность или путают знаки множителей. Разность квадратов должна превратиться в произведение двух скобок: разности и суммы квадратных корней. Чтобы проверить ответ, перемножьте скобки: смешанные члены обязаны сократиться, а оставшиеся квадраты — совпасть с исходными. Если этого не происходит, проверьте оба множителя и знак между ними.

Связь с другими темами

Для доказательства формулы нужно распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания, а также умение раскрывать скобки. Ещё понадобится возведение в квадрат одночленов и числовых выражений и работа с положительными и отрицательными членами. Эти навыки помогают понять, почему смешанные произведения сокращаются, а не просто запомнить результат. Позже формула пригодится для упрощения выражений и разложения многочленов на множители.

Что запомнить

• Произведение разности двух выражений на их сумму равно разности их квадратов.
• (a − b)(a + b) = a² − b².
• Смешанные произведения ab и −ab взаимно уничтожаются.
• Формула работает, если в сумме и разности стоят одни и те же выражения.
• Разность квадратов раскладывается на множители: a² − b² = (a − b)(a + b).
• Если выражения в скобках сложные, каждое из них нужно возвести в квадрат целиком.