"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.
Произведение разности и суммы одной и той же пары выражений равно разности их квадратов: (a − b)(a + b) = a² − b². Формула помогает быстро умножать многочлены и считать без длинного раскрытия скобок. Чтобы не ошибиться, проверь, что в обоих множителях стоят одинаковые выражения, а знаки между ними противоположны. Затем возведи каждое выражение в квадрат и вычти второй результат из первого.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Разность двух выражений — результат вычитания одного выражения из другого; её записывают как a − b. Здесь a — выражение, из которого вычитают, а b — выражение, которое вычитают. Такое обозначение позволяет увидеть порядок действий и затем сравнить разность с соответствующей суммой.
Сумма тех же выражений — результат их сложения, записываемый как a + b. Слова «тех же» означают, что в сумме и разности стоят одинаковые a и b. Это важно для формулы: если выражения в скобках различаются, сразу применить её нельзя.
Разность квадратов — выражение a² − b², которое получается при умножении разности двух выражений на их сумму. Квадратом выражения называют произведение этого выражения самого на себя. Понятие помогает коротко записать результат умножения и распознать его в более сложном примере.
Формула разности квадратов — равенство (a − b)(a + b) = a² − b². Оно связывает произведение двух скобок с разностью квадратов выражений a и b. Формулу используют вместо полного умножения, когда множители имеют нужную форму.
Раскроем скобки по распределительному свойству: каждый член первой скобки умножаем на каждый член второй. Получается a · a + a · b − b · a − b · b, то есть a² + ab − ab − b². Слагаемые ab и −ab взаимно уничтожаются, потому что их сумма равна нулю; поэтому остаётся a² − b².
Вместо a и b можно подставлять любые выражения, если в обеих скобках повторяется одна и та же пара, а знаки между ними противоположны. Причина в том, что вывод формулы использует только распределительное свойство умножения и сокращение противоположных слагаемых. Например, вместо a можно взять 2x + 1, а вместо b — y; равенство всё равно сохранится.
Чтобы применить формулу, сначала найди в множителях сумму и разность одной пары выражений. Затем возведи каждое выражение в квадрат и вычти квадрат второго из квадрата первого. Такой порядок сохраняет знаки: квадрат выражения из разностной скобки записывается первым.
Формула сокращает вычисления, потому что позволяет обойтись без четырёх отдельных умножений при раскрытии скобок. Особенно удобно применять её, если числа находятся на одинаковом расстоянии от круглого числа. Тогда произведение можно заменить вычитанием квадратов, которое часто выполнить проще.
Если вместо букв стоят сложные выражения, в квадрат возводят каждое из них целиком. Например, квадрат суммы (x + 1) — это (x + 1)², а не x² + 1. Чтобы раскрыть такой квадрат, применяют правила умножения и возведения многочлена в квадрат, сохраняя все слагаемые.
| Множители | Что принимаем за a и b | Результат |
|---|---|---|
| (x − 3)(x + 3) | a = x, b = 3 | x² − 9 |
| (2a − 5b)(2a + 5b) | a = 2a, b = 5b | 4a² − 25b² |
| (3x² + y)(3x² − y) | a = 3x², b = y | 9x⁴ − y² |
Сначала проверь, что в каждой строке стоят сумма и разность одинаковых выражений. Затем найди квадраты этих выражений и запиши их разность в том же порядке. Если выражение сложное, например 3x², возводи в квадрат его целиком.
Сопоставим множители с формулой (a − b)(a + b). В обеих скобках стоят x и 4, меняется только знак между ними. Значит, можно заменить произведение разностью квадратов.
Принимаем a = x, b = 4. Возводим каждое выражение в квадрат: a² = x², b² = 16. Вычитаем второй квадрат из первого.
Получаем (x − 4)(x + 4) = x² − 16. Ответ: x² − 16.
Вместо a в формуле берём целое выражение 3a, а вместо b — 2b. Скобки содержат их разность и сумму, поэтому формула подходит. Не нужно отдельно перемножать все члены скобок.
Возводим выбранные выражения в квадрат: (3a)² = 9a², а (2b)² = 4b². Коэффициент и переменную возводим в квадрат, так как квадрат относится ко всему одночлену. Теперь вычитаем второй квадрат из первого.
(3a − 2b)(3a + 2b) = 9a² − 4b². Ответ: 9a² − 4b².
Заметим, что оба числа близки к 100: первое на 3 больше, второе на 3 меньше. Поэтому представим произведение как (100 + 3)(100 − 3). Это сумма и разность одной пары выражений.
Применяем формулу разности квадратов: 100² − 3². Вычисляем квадраты: 10000 и 9. Их разность равна 9991.
Итак, 103 · 97 = 9991. Ответ: 9991.
Ошибка: записать (a − b)(a + b) = a² + b². Так делают, когда замечают квадраты, но забывают знак перед вторым квадратом. Проверь себя раскрытием скобок: среди полученных слагаемых есть −b², а смешанные слагаемые сокращаются.
Ошибка: считать, что (2a + b)² = 4a² + b². При этом возводят в квадрат только отдельные члены и теряют член 4ab. Возводи в квадрат всю скобку: (2a + b)² = 4a² + 4ab + b², или используй формулу разности квадратов только для целого выражения.
Ошибка: применять формулу к любым двум скобкам с похожим видом. Например, (x − 3)(x + 4) не подходит, потому что числа 3 и 4 различаются. Перед вычислением сравни оба выражения внутри скобок: они должны совпадать попарно.
Ошибка: поменять квадраты местами и получить b² − a². Такое бывает, если забыть, что результат следует за порядком выражений в исходной разности. Сверь первый квадрат с первым выражением в скобках, второй — со вторым и поставь между ними знак минус.
Для вывода формулы нужно уметь раскрывать скобки по распределительному свойству и приводить подобные слагаемые: так сокращаются ab и −ab. Также используются правила умножения степеней и возведения одночлена в квадрат, например (3a)² = 9a². Позже формула разности квадратов поможет раскладывать многочлены на множители и упрощать алгебраические выражения.
Почему при умножении не остаются слагаемые с произведением ab?
При раскрытии скобок появляются слагаемые +ab и −ab. Они противоположны, поэтому их сумма равна нулю и они сокращаются.
Можно ли подставлять вместо a и b выражения из нескольких слагаемых?
Да, формула верна и для сложных выражений. Нужно считать каждое из них целиком: например, если a = x + 1, то в результате появится (x + 1)².
Как проверить, подходит ли произведение скобок под формулу?
Сравни выражения внутри скобок: они должны быть одинаковыми, но между ними должны стоять разные знаки. Например, (x − 3)(x + 3) подходит, а (x − 3)(x + 4) — нет.
Почему результат — разность квадратов, а не сумма квадратов?
После сокращения смешанных слагаемых остаются квадрат первого выражения и квадрат второго со знаком минус. Поэтому результат имеет вид a² − b², а не a² + b².
Как использовать формулу для быстрого вычисления произведения чисел?
Представь числа как сумму и разность одного и того же числа. Например, 103 · 97 = (100 + 3)(100 − 3) = 100² − 3² = 9991.
34. Умножение разности двух выражений на их сумму
