"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.
Разность квадратов и сумма или разность кубов — выражения, которые можно быстро разложить на множители по специальным формулам. Множители — выражения, которые перемножаются и дают исходное выражение. Формулы помогают заменять длинные вычисления коротким разложением, а затем упрощать выражения, сокращать дроби или решать уравнения. Главное — верно распознать квадраты и кубы и не перепутать знаки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Разность квадратов — выражение вида a² − b², где a и b обозначают основания, возведённые в квадрат. Основаниями могут быть числа, одночлены, например 3x, или целые выражения, например x + 1. Поэтому в выражении (x + 1)² − 9 основания — x + 1 и 3. Такое обозначение помогает увидеть общий вид выражения, даже если вместо букв стоят сложные части.
Формула разности квадратов записывается так: a² − b² = (a − b)(a + b). Справа стоят два множителя — выражения, которые перемножаются; первый называется разностью, второй — суммой оснований. Формула позволяет заменить разность двух квадратов произведением и тем самым разложить выражение на множители. Чтобы воспользоваться ею, сначала нужно убедиться, что оба слагаемых действительно являются квадратами.
Сумма кубов — выражение вида a³ + b³, в котором складываются кубы двух оснований. Её формула: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²). В первом множителе стоит сумма оснований, а во втором — квадраты оснований и их произведение. Формула превращает сумму кубов в произведение двух выражений.
Разность кубов — выражение вида a³ − b³, то есть кубы оснований соединены знаком минус. Для него действует формула a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²). Первый множитель содержит разность оснований, а второй — квадраты и произведение оснований. Она нужна, чтобы разложить разность кубов, не раскрывая кубы заново.
Формулу разности квадратов можно получить, раскрыв скобки в произведении (a − b)(a + b). По распределительному свойству перемножим каждый член первой скобки с каждым членом второй: получим a² + ab − ab − b². Слагаемые ab и −ab взаимно уничтожаются, потому что их сумма равна нулю. Остаётся a² − b², поэтому произведение разности и суммы действительно равно разности квадратов.
В формуле суммы кубов первым множителем служит сумма оснований: (a + b). Второй множитель выбирают так, чтобы при раскрытии скобок возникли кубы, а смешанные слагаемые сократились: a² − ab + b². При умножении a на части второй скобки появляются a³, −a²b и ab², а при умножении b — a²b, −ab² и b³. Смешанные слагаемые попарно сокращаются, и остаётся a³ + b³.
Для разности кубов первый множитель — разность оснований, (a − b), поскольку в результате нужно получить куб a минус куб b. Во втором множителе между квадратами ставят плюс: a² + ab + b². При раскрытии скобок средние части взаимно уничтожаются: член ab², полученный из a · b², сокращается с −ab², а a²b сокращается с −a²b. Поэтому остаётся именно a³ − b³, а не сумма кубов.
Проверка раскрытием скобок объясняет, почему во втором множителе кубических формул стоят разные знаки. Для суммы кубов умножение (a + b)(a² − ab + b²) оставляет a³ + b³, а для разности произведение (a − b)(a² + ab + b²) оставляет a³ − b³. В обоих случаях слагаемые с произведениями оснований исчезают парами. Если поменять знак перед ab, сокращение нарушится.
Чтобы распознать формулу, сначала посмотри на количество слагаемых и знак между ними, а затем выдели полный квадрат или куб. Например, 25x² — это (5x)², а 8y³ — это (2y)³: основание должно включать и число, и переменную. Два квадрата со знаком минус подходят для разности квадратов, два куба со знаком плюс — для суммы кубов, а со знаком минус — для разности кубов. Один лишь подходящий знак недостаточен: нужно проверить степень и основание каждого слагаемого.
| Вид выражения | Разложение на множители | Знаки во втором множителе |
|---|---|---|
| a² − b² | (a − b)(a + b) | −, затем + |
| a³ + b³ | (a + b)(a² − ab + b²) | − перед произведением ab |
| a³ − b³ | (a − b)(a² + ab + b²) | + перед произведением ab |
Сначала найди строку с тем же знаком между степенями и той же степенью оснований, что в твоём выражении. Затем подставь вместо a и b найденные основания, не теряя числовые множители и переменные. Знак перед ab во втором множителе всегда противоположен знаку между кубами.
В выражении два слагаемых, между ними стоит минус, а оба слагаемых — квадраты. Первый квадрат уже записан как x², а число 49 нужно представить как 7². Значит, основания разности квадратов — x и 7, и подходит формула a² − b² = (a − b)(a + b).
Ответ: (x − 7)(x + 7). Раскрытие скобок даст x² + 7x − 7x − 49, то есть исходное выражение. Обрати внимание: если бы между квадратами стоял плюс, эта формула не подошла бы.
Здесь два слагаемых складываются, поэтому проверяем, не являются ли они кубами. Число 8 равно 2³, следовательно, 8a³ = (2a)³; второе слагаемое b³ уже записано как куб. Мы получили сумму кубов с основаниями 2a и b, значит, используем формулу суммы кубов.
Ответ: (2a + b)(4a² − 2ab + b²). Важно возвести в квадрат всё основание 2a, поэтому получается 4a². Знак перед произведением оснований отрицательный, так как перед кубами стоит плюс.
Слагаемые разделены знаком минус, а числа 27 и 8 — кубы: 27 = 3³, 8 = 2³. Переменные также входят в куб: 27x³ = (3x)³, а 8y³ = (2y)³. Поэтому основания — целые произведения 3x и 2y, и нужна формула разности кубов.
Ответ: (3x − 2y)(9x² + 6xy + 4y²). При проверке члены с x²y и xy² сократились, остались исходные кубы. Это подтверждает, что основания и знаки во втором множителе выбраны верно.
Ошибка — применять формулу разности квадратов к сумме a² + b². Её допускают, потому что видят два квадрата и забывают проверить знак между ними. Сверь выражение с левой частью формулы: там обязательно стоит минус.
Ошибка — менять знаки во втором множителе формул кубов. Из-за этого смешанные слагаемые при раскрытии скобок не сокращаются, хотя верно запомнить: знак перед ab противоположен знаку между кубами. Проверь себя умножением скобок и убедись, что остаются только кубы.
Ошибка — пропустить произведение ab во втором множителе суммы или разности кубов. Тогда формула будет неполной и при проверке не получится исходное выражение. Перед возведёнными в квадрат основаниями обязательно запиши член ab с нужным знаком.
Ошибка — выделить основание куба не полностью. Например, 8x³ = (2x)³, а не просто 2³ с оставшейся отдельно переменной; при подстановке нужно использовать целое основание 2x. Проверь равенство, возведя в куб все части основания: (2x)³ = 8x³.
Для работы с формулами нужно уметь возводить числа и одночлены в квадрат и куб, а также распознавать полный квадрат или куб. Ещё понадобится распределительное свойство умножения: с его помощью раскрывают скобки и проверяют разложение. В дальнейшем разложение на множители поможет сокращать алгебраические дроби, упрощать выражения и решать уравнения. Поэтому навык выделять основания важен не только для применения трёх формул.
Как быстро понять, что выражение можно разложить по формуле разности квадратов?
Проверь, состоит ли выражение из двух слагаемых, разделённых знаком минус, и является ли каждое из них квадратом. Например, x² − 49 — разность квадратов, потому что 49 = 7². Тогда применяй формулу a² − b² = (a − b)(a + b).
Можно ли разложить сумму квадратов так же, как разность квадратов?
Нет, формула разности квадратов работает только для выражения со знаком минус: a² − b² = (a − b)(a + b). Сумма квадратов a² + b² этой формулой не раскладывается.
Как не перепутать знаки во втором множителе формул суммы и разности кубов?
Посмотри на знак между кубами: во втором множителе знак перед ab будет противоположным. Поэтому у суммы кубов стоит минус, а у разности кубов — плюс.
Как разложить выражение, если кубы представлены произведениями с переменными?
Найди куб целиком, включая числовой и буквенный множители: например, 8x³ = (2x)³. Затем подставь основание 2x вместо a в подходящую формулу. Если в выражении есть два куба, определи также основание второго.
Как проверить, что разложение на множители выполнено правильно?
Раскрой скобки с помощью распределительного свойства умножения. Если смешанные слагаемые сократились, а получилось исходное выражение, разложение верно.
§ 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов
