"Алгебра", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Формулы сокращённого умножения помогают быстро разложить многочлен на множители. Разность квадратов превращается в произведение разности и суммы, а сумма и разность кубов — в произведение двучлена и трёхчлена. Главное — сначала распознать квадраты или кубы, затем правильно выбрать знаки и подставить выражения в формулу. Проверить результат можно раскрытием скобок.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Разностью квадратов называют выражение вида a² − b². Оно состоит из квадратов двух выражений, между которыми стоит знак минус. Для такого выражения действует равенство a² − b² = (a − b)(a + b). Оно помогает заменить многочлен произведением, которое часто удобнее для дальнейших вычислений.
Формула разности квадратов — правило, по которому разность квадратов двух выражений раскладывают на произведение их разности и суммы. Буквы a и b могут обозначать числа, одночлены или более сложные выражения. Это правило позволяет заметить множители даже тогда, когда они не записаны явно. Например, 49 можно распознать как квадрат числа 7.
Суммой кубов называют выражение вида a³ + b³. Для неё верно тождество a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²), где тождество — равенство, верное при любых допустимых значениях букв. Формула нужна, чтобы представить сумму кубов как произведение двух множителей. При этом важно возвести в куб каждое выражение целиком.
Разностью кубов называют выражение вида a³ − b³. Её разложение задаётся тождеством a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²). Такое правило помогает разложить многочлен, если оба его слагаемых являются кубами. Сумму и разность кубов нельзя путать: знак в первом множителе зависит от знака исходного выражения.
Чтобы понять формулу разности квадратов, раскроем скобки в произведении (a − b)(a + b). Получим a² + ab − ab − b²: каждый член первой скобки умножается на каждый член второй. Слагаемые +ab и −ab взаимно уничтожаются, поэтому остаётся a² − b². Именно поэтому при разложении появляются и разность, и сумма исходных выражений.
Формулы кубов можно проверить таким же способом — раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. Во втором множителе нужны три слагаемых: a², произведение ab и b². Крайние члены дают кубы a³ и b³, а средние члены при умножении сокращаются. Например, в формуле суммы член −ab уничтожает слагаемые, возникающие от перемножения a и b², а также b и a².
Сравнение формул помогает удержать знаки. В первом множителе знак повторяет знак между кубами: у суммы стоит a + b, у разности — a − b. Во втором множителе перед ab знак противоположен знаку между кубами: для суммы это минус, для разности — плюс. Такая расстановка не случайна: при раскрытии скобок она обеспечивает уничтожение лишних слагаемых и сохраняет нужный знак перед b³.
Вместо a и b можно подставить любые выражения, потому что формулы верны при любых значениях букв. Например, если a = 2x, то a³ означает (2x)³ = 8x³, а не 2x³. Многочлен при подстановке тоже нужно рассматривать целиком: в выражении (x + 1)² в квадрат возводится вся сумма. Скобки помогают не потерять порядок действий и степени.
Выбирая формулу, сначала определи, какие степени стоят у слагаемых: квадраты или кубы. Затем посмотри на знак между ними и сверь выражение с нужным видом: разность квадратов, сумма кубов или разность кубов. После применения формулы проверь, можно ли разложить получившиеся множители дальше. Если сомневаешься в знаках, раскрой скобки и сравни результат с исходным выражением.
| Вид выражения | Разложение на множители | Знаки в первом множителе | Знаки во втором множителе |
|---|---|---|---|
| a² − b² | (a − b)(a + b) | − | оба слагаемых со знаком + |
| a³ + b³ | (a + b)(a² − ab + b²) | + | − перед ab |
| a³ − b³ | (a − b)(a² + ab + b²) | − | + перед ab |
Сначала найди в левом столбце вид выражения, которое совпадает с заданным. Затем перенеси его части в соответствующую формулу, не забывая сохранять степени и скобки. Для кубов отдельно проверь знак первого множителя и знак перед ab во втором.
Разложите на множители x² − 49. Здесь нужно проверить, являются ли оба слагаемых квадратами: x² уже записан как квадрат, а 49 можно представить как 7². Между квадратами стоит минус, значит, подходит формула разности квадратов. В роли a выступает x, а в роли b — 7.
Ответ: (x − 7)(x + 7). При проверке умножение скобок даёт x² + 7x − 7x − 49, то есть x² − 49. Средние слагаемые исчезают, как и должно быть при разности квадратов.
Разложите на множители 8a³ + 27b³. Оба слагаемых можно представить как кубы: 8a³ = (2a)³, а 27b³ = (3b)³. Между ними стоит плюс, поэтому нужна формула суммы кубов. Подстановка должна охватывать множители вместе с буквами, а не только числа 8 и 27.
Ответ: (2a + 3b)(4a² − 6ab + 9b²). В первом множителе стоит сумма, как и в исходном выражении, а перед произведением 6ab — минус. Это разложение можно проверить раскрытием скобок: смешанные слагаемые сократятся, останутся 8a³ и 27b³.
Разложите на множители 16x⁴ − 81y⁶. Сначала заметим, что это разность квадратов: 16x⁴ = (4x²)², а 81y⁶ = (9y³)². После первого шага нужно не останавливаться, если один из полученных множителей тоже можно разложить. Такой последовательный поиск формулы делает разложение полным.
Ответ: (4x² − 9y³)(4x² + 9y³). При проверке произведение возвращает исходную разность квадратов. Важно не объявлять 9y³ квадратом одночлена: показатель 3 у y нечётный, поэтому выделить целую степень y² без остатка нельзя.
Первая ошибка — применять разность квадратов к выражению a² + b². Формула требует знак минус: при раскрытии (a − b)(a + b) средние слагаемые сокращаются, а в результате остаётся именно разность. Сумма квадратов так не раскладывается на действительные линейные множители по этой формуле. Проверь знак между слагаемыми до подстановки.
Можно перепутать формулы суммы и разности кубов и поставить неверный знак в первом множителе. Это происходит, если запоминать формулы без связи с исходным выражением. При сумме кубов первый множитель — a + b, при разности — a − b. Сверь знак между кубами с первым множителем, прежде чем раскрывать скобки.
Ещё одна ошибка — поставить неверный знак перед ab или вовсе пропустить средний член во втором множителе. Тогда при раскрытии скобок смешанные слагаемые не уничтожатся, и получится не исходный многочлен. Во втором множителе обязательно есть a², ab и b². Проверь знаки раскрытием скобок или по правилу: знак перед ab противоположен знаку между кубами.
При распознавании квадрата или куба иногда возводят в степень только числовой множитель и забывают про буквенный. Например, 8a³ — это (2a)³, а не просто куб числа 8, умноженный на a³. Ошибка меняет подстановку и всю формулу. Возведи предложенный одночлен в степень и проверь, что получаются исходные число и буквенная часть.
Для работы с этими формулами нужно уметь возводить числа, одночлены и выражения в квадрат и куб, а также распознавать их степени. Ещё понадобится распределительное свойство умножения: с его помощью раскрывают скобки и проверяют тождества. Позже разложение на множители пригодится при сокращении дробей и решении уравнений. Поэтому полезно не только запомнить формулы, но и научиться узнавать их части в разных выражениях.
Как понять, что выражение можно разложить по формуле разности квадратов?
Проверь, что выражение состоит из двух квадратов, между которыми стоит знак минус: a² − b². Тогда его можно записать как (a − b)(a + b). Например, x² − 49 = x² − 7².
Почему сумму квадратов нельзя разложить по формуле разности квадратов?
В формуле разности квадратов между квадратами стоит минус, а не плюс. При раскрытии (a − b)(a + b) средние слагаемые уничтожаются и получается a² − b², а не a² + b². Поэтому эта формула к сумме квадратов не подходит.
Как не перепутать формулы суммы и разности кубов?
Смотри на знак между кубами: он повторяется в первом множителе. Во втором множителе сумма кубов содержит −ab, а разность кубов — +ab; крайние слагаемые там всегда a² и b².
Можно ли вместо a и b подставлять многочлены?
Да, вместо букв можно подставить любые выражения: одночлены, многочлены или числа. Если выражение состоит из нескольких слагаемых, заключай его в скобки и возводи в степень целиком.
Как проверить, что разложение на множители выполнено правильно?
Раскрой скобки в полученном произведении, используя распределительное свойство. Если после приведения подобных слагаемых получается исходное выражение, разложение верно.
§ 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов
