"Алгебра", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Целые выражения составляют из чисел, переменных и арифметических действий, не деля на выражение с переменной в знаменателе. Их преобразуют, чтобы записать короче и удобнее, не меняя значения. Для этого раскрывают скобки по распределительному свойству, перемножают одночлены и многочлены, а затем приводят подобные слагаемые. Умение выполнять эти действия помогает упрощать формулы и решать уравнения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Целое выражение — выражение, составленное из чисел, переменных, сложения, вычитания, умножения и возведения в натуральную степень. Например, 3x² − 2x + 5 — целое выражение. В отличие от него, выражение 1/(x − 2) содержит переменную в знаменателе и не относится к целым; при этом у целого выражения могут быть числовые знаменатели, например x/2.
Тождественно равные выражения принимают одинаковые значения при всех допустимых значениях переменных. Например, 2(x + 3) и 2x + 6 равны при любом x. Это понятие позволяет менять запись выражения, не меняя его значения, — так можно упростить вычисления или увидеть нужную часть формулы.
Преобразование выражения — замена его другим выражением, тождественно ему равным. При преобразовании используют свойства сложения и умножения, например распределительное свойство. Благодаря этому сложное выражение можно переписать в более удобном виде, сохранив его значение.
Многочлен — сумма одночленов, то есть произведений чисел и переменных в натуральных степенях. Выражение 2x(x + 1) после раскрытия скобок превращается в многочлен 2x² + 2x. Такая запись помогает сравнивать слагаемые, приводить подобные и выполнять дальнейшие действия.
Раскрытие скобок основано на распределительном свойстве умножения относительно сложения и вычитания. Например, a(b + c) = ab + ac: число a умножается на всю сумму, поэтому его можно представить как сумму двух произведений. Аналогично a(b − c) = ab − ac, потому что вычитание можно рассматривать как прибавление числа с противоположным знаком. Значит, раскрытие скобок не меняет значение выражения, а лишь записывает его иначе.
Если перед скобками стоит знак «плюс», слагаемые внутри сохраняют свои знаки: +(a − b) = a − b. Прибавить выражение — значит прибавить каждое его слагаемое, поэтому ничего не меняет знак. Если стоит минус, всё выражение в скобках вычитают, то есть умножают на −1: −(a − b) = −a + b. Число −1 действует на каждое слагаемое, поэтому знаки меняются у всех, а не только у первого.
Одночлен — это произведение чисел и переменных, например 3x. При умножении одночлена на многочлен распределительное свойство требует умножить его на каждое слагаемое: 3x(a + b) = 3xa + 3xb. Если пропустить слагаемое, получится не равное исходному выражение. Поэтому после раскрытия скобок полезно проверить, что одночлен встретился в каждом произведении.
При умножении двух многочленов действует тот же принцип, только распределение выполняют для каждого слагаемого обоих выражений. В произведении (a + b)(c + d) должны появиться ac, ad, bc и bd. Каждый член первой скобки умножается на каждый член второй, потому что первая скобка умножает всё содержимое второй. Затем полученные произведения записывают вместе и упрощают.
После раскрытия скобок находят подобные слагаемые — те, у которых одинаковая буквенная часть и одинаковые показатели степеней переменных. Например, 3x и −5x подобны: их можно сложить, получив −2x, потому что x у них общий множитель. А x и x² имеют разные буквенные части, поэтому складывать их коэффициенты нельзя. Приведение подобных похоже на объединение одинаковых предметов: число таких предметов меняется, но сам вид не меняется.
| Приём | Основание | Что сделать |
|---|---|---|
| Раскрытие скобок перед знаком «плюс» | Прибавление суммы | Сохранить знаки всех слагаемых |
| Раскрытие скобок перед знаком «минус» | Умножение выражения на −1 | Изменить знак каждого слагаемого |
| Умножение одночлена на многочлен | Распределительное свойство | Умножить одночлен на каждый член |
| Умножение многочлена на многочлен | Распределительное свойство для обоих множителей | Перемножить каждую пару членов |
| Приведение подобных слагаемых | Сложение членов с общей буквенной частью | Сложить коэффициенты, сохранив буквенную часть |
Пользуйся таблицей как кратким планом: сначала определи, какой приём нужен, затем выполни соответствующее действие. Основание помогает понять, почему правило работает, а последний столбец напоминает, что именно проверить.
Задача 1. Раскрыть скобки и упростить выражение 3(2x − 5) + 4x.
Ответ: 10x − 15.
Задача 2. Упростить выражение 7a − (3a − 2b) + 2(b − a).
Ответ: 2a + 4b.
Задача 3. Упростить выражение (2x − 3)(x + 4) − 2x(x − 1).
Ответ: 7x − 12.
При раскрытии скобок после минуса иногда меняют знак только у первого слагаемого. Ошибка появляется, если помнить правило как отдельный знак, а не как умножение всего выражения на −1. Проверь каждый член в скобках: у каждого должен появиться противоположный знак. Например, −(a − b + c) = −a + b − c.
При умножении одночлена на многочлен можно по ошибке умножить его лишь на первое слагаемое. Обычно второе слагаемое теряется из-за невнимательности при переписывании. Поставь мысленно стрелку от одночлена к каждому слагаемому и проверь, что для каждого записано произведение. Например, 2x(a + b) содержит и 2xa, и 2xb.
При умножении двух многочленов иногда перемножают не все пары слагаемых. Причина та же: часть распределений легко упустить, особенно когда в скобках больше двух членов. Перечисли каждый член первой скобки и отметь, что он умножен на каждый член второй. Для (a + b)(c + d) должны быть четыре произведения: ac, ad, bc и bd.
Ещё одна ошибка — сложение слагаемых с разной буквенной частью, например x и x². Похожие на вид переменные могут иметь разные степени, а значит, обозначают разные одночлены. Сложи коэффициенты только после проверки букв и показателей: у подобных слагаемых они полностью совпадают. Поэтому 3x + 2x = 5x, но x + x² так и остаётся суммой двух слагаемых.
Для преобразований нужны распределительное свойство умножения, правила действий с отрицательными числами и умение находить подобные слагаемые. Если они знакомы, можно понять, откуда берётся каждое действие со скобками, а не просто запоминать готовые правила. Упрощённые выражения помогают решать уравнения и работать с формулами. Те же умения понадобятся при разложении многочленов на множители: там преобразование выполняют в обратном направлении.
Почему при раскрытии скобок после минуса меняются знаки всех слагаемых?
Минус перед скобками означает, что всё выражение в скобках умножается на −1. По распределительному свойству −1 умножается на каждое слагаемое, поэтому каждый его знак становится противоположным.
Можно ли складывать слагаемые с разными степенями одной переменной?
Нет, слагаемые с разными степенями переменной не являются подобными. Например, x и x² нельзя объединить в одно слагаемое, хотя их можно оставить рядом в многочлене.
Как понять, все ли произведения учтены при умножении многочленов?
Проверьте каждый член первого многочлена: он должен умножиться на каждый член второго. Удобно отмечать пары или составить таблицу произведений, чтобы ни одну комбинацию не пропустить.
В каком порядке удобнее раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые?
Сначала раскройте внешние скобки, применяя правила знаков и распределительное свойство. Затем запишите полученные слагаемые и сгруппируйте подобные, чтобы сложить только те, у которых совпадает буквенная часть.
Как проверить, правильно ли выполнено преобразование выражения?
Подставьте в исходное и полученное выражения одинаковые значения переменных и сравните результаты. Это помогает обнаружить ошибку, хотя для полного доказательства равенства нужно проверить преобразования по правилам или выполнить их заново.
§ 14. Преобразование целых выражений
