§ 15. Линейные уравнения с двумя переменными и их системы

Определения и обозначения

Линейное уравнение с двумя переменными — уравнение вида ax + by = c, где x и y — переменные, а коэффициенты a и b не равны нулю одновременно. Коэффициенты — числа, на которые умножаются переменные, а c — заданное число. Такое уравнение описывает связь между двумя величинами.

Решение уравнения с двумя переменными — упорядоченная пара чисел, при подстановке которой уравнение становится верным равенством. Её записывают в порядке (x; y): первое число задаёт x, второе — y. Это определение позволяет проверить, подходит ли конкретная пара.

График уравнения с двумя переменными — множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями уравнения. Каждая точка имеет координаты (x; y), поэтому её можно проверить подстановкой в уравнение. График помогает увидеть сразу все решения, а не только отдельные пары.

Система линейных уравнений — несколько линейных уравнений, для которых требуется найти общие решения; решением системы является пара, удовлетворяющая каждому уравнению. Пара должна подходить не просто одному уравнению, а всем сразу. Системы нужны, когда две связи между величинами действуют одновременно.

Как это устроено

Чтобы получить зависимость y от x, в уравнении ax + by = c оставляют y в одной части, а остальные слагаемые переносят в другую. Затем обе части делят на коэффициент при y, если он не равен нулю: получается формула y = … . Выбрав несколько значений x, находят соответствующие y и отмечают точки. Они лежат на одной прямой, потому что при изменении x значение y меняется с постоянной скоростью.

Точка графика принадлежит ему именно потому, что её координаты удовлетворяют уравнению: подстановка даёт верное равенство. И наоборот, если пара чисел является решением, её координаты задают точку, удовлетворяющую условию графика. Поэтому между решениями уравнения и точками его графика есть соответствие. Это позволяет переходить от вычислений к наглядному изображению.

В системе нужны пары, которые выполняют сразу два условия. На графике первое условие задаёт одну прямую, второе — другую, поэтому подходить должны точки обеих прямых. Их общие точки и являются решениями системы. Если точка лежит только на одной прямой, она выполняет лишь одно условие и решением системы не становится.

Две непараллельные прямые пересекаются в одной точке, значит, система имеет одно решение. Параллельные различные прямые не имеют общих точек, а потому система не имеет решений. Если прямые совпадают, каждая их точка общая и решений бесконечно много. Такой способ определить число решений основан на том, сколько общих точек у графиков.

Способ подстановки удобен, когда переменную легко выразить из одного уравнения: выражение заменяет её во втором, и остаётся уравнение с одной переменной. При способе сложения уравнения складывают или вычитают, предварительно при необходимости умножив их на числа, чтобы коэффициенты одной переменной стали противоположными. После нахождения одной переменной её значение подставляют в исходное уравнение. Проверка в обоих уравнениях подтверждает, что найдена общая пара, а не случайное решение одного условия.

Линейное уравнение и система линейных уравнений

Сначала определите, рассматриваете ли вы одно уравнение или систему: от этого зависит, каким условиям должна отвечать пара. Строки о графическом представлении и числе решений показывают, как алгебраическая запись связана с прямыми. При работе с таблицей помните: уравнение системы должно выполняться каждое.

Разбор задач

Проверить, является ли пара (2; −1) решением уравнения 3x + 2y = 4.

1. В паре (2; −1) первое число — значение x, а второе — значение y.
2. Подставим эти числа: 3 · 2 + 2 · (−1) = 6 − 2 = 4.
3. Получили верное равенство 4 = 4, значит, пара удовлетворяет уравнению.

Ответ: да, пара (2; −1) является решением. Подстановка — универсальная проверка пары для одного уравнения.

Решить графически систему y = 2x + 1, y = −x + 4.

1. Каждая запись уже выражает y через x, поэтому для построения прямых выберем удобные значения x.
2. Для y = 2x + 1 при x = 0 получаем y = 1, а при x = 1 — y = 3. Для y = −x + 4 при x = 0 получаем y = 4, а при x = 1 — y = 3.
3. Отметим найденные точки каждой прямой и проведём через пары точек прямые. Они пересекаются в точке (1; 3).
4. Проверим координаты: при x = 1 обе формулы дают y = 3, значит, точка принадлежит обоим графикам.

Ответ: (1; 3). При построении достаточно двух точек для каждой прямой, а проверка помогает не ошибиться при считывании координат.

Решить систему 3x + 2y = 12, 5x − 2y = 4.

1. Коэффициенты при y противоположны: +2 и −2. Поэтому сложим уравнения — y исчезнет.
2. Получаем 8x = 16, откуда x = 2. Подставим это значение в первое уравнение: 3 · 2 + 2y = 12.
3. Тогда 6 + 2y = 12, 2y = 6, y = 3. Кандидат на решение — пара (2; 3).
4. Проверим первое уравнение: 3 · 2 + 2 · 3 = 12. Проверим второе: 5 · 2 − 2 · 3 = 4.

Ответ: (2; 3). Сложение сразу находит одну переменную, а подстановка и проверка завершают решение.

Типичные ошибки

Считать решением системы пару, подходящую только одному уравнению, неверно: система требует выполнить все её условия. Так ошибаются, если проверяют только первое равенство или останавливаются после нахождения одной прямой. Подставьте пару в каждое уравнение отдельно. Все полученные равенства должны быть верными.

Координаты точки и компоненты пары записывают в порядке (x; y), не наоборот. Путаница возникает, когда читают точку по оси y раньше, чем по оси x. Перед подстановкой подпишите, какое число относится к каждой переменной. Затем проверьте координаты по горизонтальной и вертикальной осям.

При переносе слагаемого через знак равенства его знак меняется, а при сложении уравнений важно сохранять знаки всех слагаемых. Ошибку допускают из-за спешки или из-за того, что мысленно переносят член, не выполняя одинаковых действий с обеими частями. Записывайте каждый шаг отдельно и перепроверьте результат подстановкой. Если исходное уравнение не выполняется, вернитесь к преобразованиям.

Нельзя делить уравнение на выражение, которое может оказаться нулём, не разобрав этот случай. Иначе можно потерять решения или получить недопустимое преобразование. Сначала выясните, при каких значениях выражение равно нулю, и рассмотрите их отдельно. Деление безопасно, если делитель — заведомо ненулевое число.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны координаты точки на плоскости: они позволяют записывать пару и отмечать её на графике. Линейная функция помогает строить прямую по формуле, а преобразование выражений и решение обычных линейных уравнений — выполнять подстановку и сложение. Позже системы пригодятся при изучении графиков функций, систем неравенств и текстовых задач с двумя неизвестными. С геометрией их связывает пересечение прямых: общая точка графиков задаёт решение системы.

Что запомнить

• Решение линейного уравнения с двумя переменными — упорядоченная пара чисел.
• График линейного уравнения с двумя переменными является прямой.
• Каждая точка графика соответствует решению уравнения.
• Решение системы — общая точка графиков её уравнений.
• Пересекающиеся прямые дают одно решение, параллельные — ни одного.
• Совпадающие прямые имеют бесконечно много общих решений.
• После решения системы нужно проверить найденную пару в обоих уравнениях.