"Алгебра", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Система линейных уравнений объединяет уравнения с одними и теми же переменными, которые должны выполняться одновременно. Её решение — пара чисел, подходящая каждому уравнению. Чтобы найти такую пару, используют метод подстановки или метод сложения: преобразуют уравнения так, чтобы сначала определить одну переменную, а затем другую. В конце обязательно проверяют ответ в исходной системе.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система линейных уравнений с двумя переменными — это два или несколько уравнений, в которых участвуют одни и те же переменные, например x и y. Их записывают вместе, обычно объединяя фигурной скобкой, потому что требуется найти значения, подходящие сразу всем уравнениям. Система описывает ситуацию, где действуют несколько условий одновременно.
Решение системы — пара значений переменных, которая превращает каждое уравнение системы в верное равенство. Например, для пары (x; y) первое число подставляют вместо x, а второе — вместо y. Это определение помогает отличить общий ответ системы от ответа, который подходит только одному уравнению.
Равносильные системы — системы, у которых совпадают все решения. При решении мы преобразуем уравнения и стараемся получить более простую систему, не меняя её решений. Если преобразование не сохраняет равносильность, можно потерять правильный ответ или получить лишний.
Метод подстановки и метод сложения — два способа найти решение системы, изменяя её уравнения. При подстановке выражение одной переменной заменяет эту переменную в другом уравнении, а при сложении уравнения складывают или вычитают так, чтобы исключить переменную. Оба метода сводят задачу к уравнению с одной переменной.
Пара чисел должна удовлетворять каждому уравнению одновременно, потому что система означает выполнение всех записанных условий, а не выбор одного из них. Поэтому после вычислений недостаточно получить верное равенство только в первом уравнении. Для проверки подставляют найденные значения переменных по очереди во все исходные уравнения и смотрят, верны ли равенства.
В методе подстановки сначала выбирают уравнение, где переменную проще выразить: например, если y уже стоит отдельно или имеет небольшой коэффициент. Выразив y через x, эту запись подставляют вместо y в другое уравнение. Так связь между переменными сохраняется, но неизвестных в новом уравнении становится меньше.
После подстановки получается уравнение с одной переменной, потому что вместо одной из переменных уже стоит выражение через другую. Его можно решить знакомыми действиями: раскрыть скобки, перенести слагаемые и найти значение переменной. Затем найденное значение подставляют в выражение для второй переменной или в исходное уравнение, чтобы вычислить её значение и получить пару.
Метод сложения позволяет убрать переменную, если её коэффициенты в уравнениях противоположны: например, у y коэффициенты 1 и −1. Тогда при сложении уравнений слагаемые с y дают ноль. Если коэффициенты не противоположны, уравнения можно сначала умножить на подходящие числа, но множить нужно обе части каждого уравнения.
После исключения переменной решают оставшееся уравнение, а найденное значение подставляют в одно из исходных уравнений. Это необходимо, чтобы определить вторую переменную: само уравнение после сложения обычно не содержит её. В конце проверяют обе части пары в исходной системе, ведь преобразования могли привести к ошибке в знаке или вычислениях.
| Что сравниваем | Метод подстановки | Метод сложения |
|---|---|---|
| Основной приём | Выразить переменную и подставить выражение в другое уравнение | Сложить или вычесть уравнения, чтобы исключить переменную |
| Когда удобно применять | Когда переменную легко выразить из одного уравнения | Когда коэффициенты переменной противоположны или их легко сделать такими |
| Как находят вторую переменную | Подставляют найденное значение в выражение или исходное уравнение | Подставляют найденное значение в исходное уравнение |
| Что проверяют в конце | Подходит ли пара каждому уравнению системы | Подходит ли пара каждому уравнению системы |
Сначала посмотри на коэффициенты и на то, насколько легко выразить переменную. Выбирай способ, который приводит к более простым вычислениям. Независимо от метода окончательную пару проверяют в исходной системе.
Здесь значение y уже дано, поэтому удобно применить подстановку. Нужно заменить y числом 2 в первом уравнении, затем проверить полученную пару в обоих равенствах. Так видно, что найденные значения подходят не только первому уравнению, но и всей системе.
Ответ: (5; 2).
Коэффициенты при y равны 1 и −1, поэтому при сложении уравнений y исчезнет. Это удобнее, чем выражать переменную: сразу получится уравнение только с x. Затем найденное значение нужно подставить в исходное уравнение, чтобы определить y.
Ответ: (3; 2).
Обозначим цену карандаша через x рублей, а цену ручки — через y рублей. Из условия получаются два равенства: 2x + 3y = 84 и 3x + 2y = 81. При сложении удобно получить 5x и 5y, но для исключения переменной умножим первое уравнение на 3, второе на −2: коэффициенты при x станут 6 и −6.
Ответ: карандаш стоит 15 рублей, ручка — 18 рублей.
Можно принять за решение пару, которая подходит только одному уравнению. Так бывает, если забыть, что условия системы выполняются одновременно. Подставь оба числа во все исходные уравнения: каждое равенство должно оказаться верным.
При выражении переменной иногда неверно переносят слагаемое через знак равенства или делят только часть выражения. Ошибка возникает из-за спешки при преобразовании. Запиши промежуточный шаг и проверь его обратным действием или подстановкой в исходное уравнение.
Если складывать уравнения, не учитывая коэффициенты, переменная может не исчезнуть. Это не всегда ошибка вычисления: для исключения нужно, чтобы коэффициенты стали противоположными. Перед сложением отдельно проверь знаки и величины коэффициентов; при необходимости умножь обе части уравнения на одно число.
Найдя одну переменную, некоторые останавливаются или забывают проверить результат. Но система требует пару значений, а не одно число, и случайная ошибка может остаться незамеченной. Найди вторую переменную подстановкой, затем проверь пару в каждом исходном уравнении.
Для решения систем нужны навыки, которые изучают при решении линейных уравнений с одной переменной: перенос слагаемых, приведение подобных и выполнение одинаковых действий с обеими частями. Также важно уметь преобразовывать выражения, например раскрывать скобки и умножать уравнение на число. Без этих умений подстановка и сложение становятся менее надёжными.
Системы помогают переводить текстовые условия на язык уравнений: неизвестные обозначают переменными, а каждое условие записывают отдельным равенством. Позже эта тема свяжется с графиками линейных функций: каждое уравнение с двумя переменными можно представить прямой, а общее решение системы связано с точками, которые подходят обоим уравнениям. Так алгебраические вычисления получают наглядный смысл.
Чем решение системы отличается от решения одного уравнения?
Решение одного уравнения должно сделать верным только это уравнение. Решение системы — пара значений, которая одновременно подходит каждому уравнению, входящему в неё.
Как выбрать между методом подстановки и методом сложения?
Подстановка удобна, если одну переменную легко выразить из уравнения. Сложение выбирают, когда коэффициенты переменной уже противоположны или их легко сделать такими.
Можно ли складывать уравнения системы?
Да, уравнения можно складывать или вычитать, если выполнять одинаковые действия с обеими частями. Обычно это делают, чтобы коэффициенты одной переменной стали противоположными и переменная исчезла.
Зачем найденное значение переменной подставлять в исходное уравнение?
Так находят значение второй переменной, ведь решение системы — это пара чисел. Подстановка в исходное уравнение помогает не потерять связь между переменными.
Как проверить, что пара чисел действительно является решением системы?
Подставь оба числа вместо соответствующих переменных в каждое исходное уравнение. Если все равенства верны, пара является решением системы.
§ 16. Решение систем линейных уравнений
