"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.
Система линейных уравнений — это несколько уравнений с общими неизвестными, которые нужно выполнить одновременно. Её решение — пара чисел, подходящая каждому уравнению. Системы помогают находить неизвестные величины в задачах и описывать общую точку двух прямых. Решать систему можно подстановкой, сложением уравнений или графически. После вычислений важно найти обе неизвестные и проверить пару в исходных уравнениях.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система линейных уравнений — совокупность двух или нескольких уравнений с общими неизвестными, записанных вместе. Например, в системе 2x + y = 7 и x − y = 2 неизвестными являются x и y. Объединение уравнений показывает, что их нужно рассматривать как одно общее условие задачи.
Решение системы — пара значений неизвестных, которая одновременно удовлетворяет всем уравнениям системы. Например, пара (3; 1) подходит системе, если при x = 3 и y = 1 верны оба равенства. Это определение помогает отличить решение системы от числа, которое подходит только одному уравнению.
Решить систему — значит найти все её решения или доказать, что решений нет. Система может иметь одно решение, несколько решений или не иметь решений вовсе. Поэтому недостаточно получить подходящую пару: нужно выяснить, что найден ответ задачи целиком.
Равносильные системы — системы, имеющие одни и те же решения. При решении удобно преобразовывать исходную систему в равносильную, с которой проще работать. Тогда найденные пары останутся решениями исходной системы, а преобразования не добавят лишних ответов.
Пара чисел должна удовлетворять каждому уравнению, потому что система означает выполнение всех заданных условий сразу. Если пара подходит лишь первому уравнению, второе условие может оказаться нарушено. Например, задача может одновременно сообщать об общей сумме и о разности двух величин, поэтому одного условия недостаточно.
При подстановке сначала выражают одну неизвестную через другую из уравнения, где это проще сделать. Полученное выражение заменяет эту неизвестную во втором уравнении. Замена допустима потому, что в исходной системе эти величины равны, а значит, их можно использовать вместо друг друга.
После подстановки остаётся уравнение только с одной неизвестной: вместо второй в него уже вставлено выражение через первую. Его можно решить знакомыми действиями с линейными уравнениями. Затем найденное значение возвращают в выражение или исходное уравнение, чтобы вычислить вторую неизвестную.
Сложение или вычитание уравнений помогает исключить неизвестную, если коэффициенты при ней равны или противоположны. При сложении равенств складываются их левые и правые части, поэтому равенство сохраняется. Например, если в уравнениях стоят +3y и −3y, эти слагаемые взаимно уничтожаются, и остаётся уравнение только с x.
После нахождения одной неизвестной необходимо вычислить вторую: решение системы — пара, а не отдельное число. Для этого подставляют известное значение в одно из первоначальных уравнений. Проверка обоих равенств нужна, чтобы обнаружить арифметическую ошибку и убедиться, что пара действительно подходит всей системе.
В таблице собраны три способа и действия, которые помогут не потерять важный шаг. Сначала посмотри, какие коэффициенты и выражения даны в системе, и выбери удобный приём. После вычислений используй последнюю колонку для проверки результата.
| Способ | Основной приём | Последовательность действий | Что проверить |
|---|---|---|---|
| Подстановка | Выразить одну неизвестную и подставить её в другое уравнение | Получить уравнение с одной неизвестной, найти её, затем найти вторую неизвестную | Пара значений должна удовлетворять обоим исходным уравнениям |
| Сложение | Сложить или вычесть уравнения после приведения коэффициентов | Исключить одну неизвестную, найти оставшуюся, затем вычислить вторую | Не изменились ли знаки и коэффициенты при преобразовании уравнений |
| Графический смысл | Найти точку пересечения графиков уравнений | Преобразовать уравнения к виду функций и определить координаты общей точки | Количество общих точек соответствует количеству решений |
Рассмотрим систему x = 2y + 1 и 3x + y = 17. В первом уравнении x уже выражен через y, поэтому удобнее применить подстановку. Сначала найдём y, затем восстановим x и проверим пару в обоих уравнениях.
Ответ: (5; 2).
Теперь решим систему 2x + 3y = 11 и 4x − 3y = 1. Коэффициенты при y противоположны, поэтому при сложении уравнений y исчезнет. Это позволяет сразу найти x, не выражая одну неизвестную заранее.
Ответ: (2; 7/3).
В двух коробках 38 карандашей, причём в первой на 6 карандашей больше, чем во второй. Обозначим количество карандашей в первой коробке через x, а во второй — через y. Сумма даст одно уравнение, а разность — второе.
Ответ: в первой коробке 22 карандаша, во второй — 16.
После нахождения одной неизвестной иногда записывают её как полный ответ. Так происходит, если забыть, что решением служит пара чисел. Найди вторую неизвестную подстановкой и запиши оба значения в порядке (x; y).
При переносе слагаемого в другую часть уравнения знак меняют неправильно. Ошибка появляется, когда перенос воспринимают как перемещение без выполнения равных действий с обеими частями. Проверь преобразование обратным действием или подставь полученное значение в исходное уравнение.
При сложении уравнений можно сложить коэффициенты при неизвестных, но забыть сложить свободные члены. Тогда получится неверное равенство, хотя часть вычислений выглядит правильно. Записывай сложение по частям: отдельно левые части, отдельно правые, а затем проверяй результат.
Если не проверить найденную пару, можно не заметить вычислительную ошибку или то, что пара подходит лишь одному уравнению. Подставляй оба значения отдельно в каждое исходное равенство. Ответ верен, только если все равенства системы выполняются.
Для решения систем нужны навыки решения линейных уравнений с одной неизвестной и преобразования буквенных выражений. Эти умения помогают выразить переменную, раскрыть скобки и выполнить подстановку без ошибок. Если известен график линейной функции, решение можно увидеть как координаты точки пересечения двух прямых.
Системы также помогают решать текстовые задачи, в которых неизвестные величины связаны несколькими условиями. Позже этот способ пригодится при изучении функций и других тем алгебры. Графическая и вычислительная трактовки дополняют друг друга: первая показывает смысл решения, а вторая позволяет найти его точно.
На графике решение системы — координаты точки, в которой пересекаются прямые y = 4 − x и y = x − 2. Общая точка имеет координаты (3; 1), поэтому x = 3 и y = 1.
Почему найденная пара должна удовлетворять сразу двум уравнениям?
Потому что система задаёт несколько условий одновременно. Если пара подходит только одному уравнению, хотя бы одно условие остаётся невыполненным, и решением системы она не является.
Как понять, какой способ решения выбрать?
Выбирай подстановку, если одну неизвестную легко выразить через другую. Сложение удобно, когда коэффициенты при одной неизвестной равны или противоположны, либо их легко сделать такими. Графический способ показывает решение как точку пересечения прямых.
Можно ли складывать уравнения системы почленно?
Да, можно сложить левые части между собой и правые части между собой. Полученное уравнение будет верным для любого решения исходной системы, но обычно его используют вместе с одним из исходных уравнений.
Почему после нахождения одной неизвестной нужно делать ещё один шаг?
Одного значения недостаточно: ответ системы — пара значений. Подставь найденное число в одно из исходных уравнений, чтобы вычислить вторую неизвестную, а затем проверь оба уравнения.
Что означает отсутствие точки пересечения графиков?
Если графики двух уравнений не пересекаются, нет пары чисел, которая одновременно подходит обоим уравнениям. Значит, такая система не имеет решений.
§ 16. Решение систем линейных уравнений
