§ 15. Линейные уравнения с двумя переменными и их системы

Определения и обозначения

Линейное уравнение с двумя переменными — это уравнение вида ax + by = c. Буквы x и y — переменные, а a, b и c — известные числа, называемые коэффициентами и свободным членом. Такая запись позволяет описывать зависимость между двумя величинами.

Решение линейного уравнения с двумя переменными — пара чисел (x; y), при подстановке которой получается верное равенство. Порядок чисел важен: первое число относится к x, второе — к y. Это определение нужно, чтобы отличать подходящие пары от любых других.

График линейного уравнения с двумя переменными — множество точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями уравнения. Каждая подходящая пара изображается отдельной точкой. По графику можно увидеть все решения сразу.

Система линейных уравнений с двумя переменными — это два уравнения, объединённые условием их одновременного выполнения. Её решение — одна пара чисел, подходящая каждому уравнению. Поэтому при решении системы ищут не отдельные решения, а общие.

Как это устроено

Уравнение ax + by = c называют линейным, потому что переменные входят только в первой степени: нет x², y², произведения xy или других нелинейных выражений. Коэффициенты a и b определяют наклон и направление прямой, а c влияет на её положение. Если один коэффициент равен нулю, уравнение упрощается: например, ax = c задаёт вертикальную прямую, а by = c — горизонтальную. Если оба коэффициента при переменных равны нулю, нужно отдельно проверить, верно ли равенство 0 = c.

Проверка пары начинается с правильной подстановки. Если дана пара (u; v), число u ставят вместо x, а v — вместо y, получая au + bv = c. Затем вычисляют обе части: при совпадении пара является решением, при несовпадении — нет. Отрицательное число лучше заключать в скобки, чтобы не потерять знак при умножении.

Связь уравнения с прямой появляется потому, что после выражения одной переменной получается зависимость вида y = kx + m, если b ≠ 0. Для каждого выбранного x находится ровно одно значение y, а изменение x на одну и ту же величину меняет y равномерно. Поэтому точки не разбросаны случайно, а лежат на прямой. Обратно, координаты любой точки этой прямой удовлетворяют исходному уравнению.

В системе одна и та же пара должна выполнить оба равенства. На координатной плоскости это означает, что соответствующая точка принадлежит сразу двум графикам. Значит, решение системы — общая точка двух прямых. Если общей точки нет, система несовместна.

Взаимное расположение прямых сразу показывает число решений. Пересекающиеся прямые имеют одну общую точку и дают одно решение, совпадающие содержат бесконечно много общих точек. Параллельные разные прямые не пересекаются, поэтому система не имеет решений.

Линейное уравнение и система: решения и графики

В таблице сначала определите, о каком объекте говорится, а затем сопоставьте ему алгебраический и геометрический смысл. Последний столбец помогает быстро установить число решений системы по виду графиков. Для одного уравнения обычно указано множество решений, потому что его график содержит бесконечно много точек.

Разбор задач

Проверка пары чисел

Условие: проверить, является ли пара (2; 1) решением уравнения 3x + 2y = 8. Сначала нужно правильно распределить координаты пары между переменными. Затем достаточно сравнить результат подстановки с правой частью.

1. Подставим x = 2 и y = 1: 3 · 2 + 2 · 1 = 6 + 2.
2. Вычислим левую часть: 6 + 2 = 8.
3. Сравним с правой частью: 8 = 8, равенство верно.

Ответ: пара (2; 1) является решением уравнения.

Несколько решений и график

Условие: найти несколько решений уравнения x + y = 4 и построить его график. Удобно выбрать несколько значений x, а y находить из формулы y = 4 − x. Полученные пары станут координатами точек одной прямой.

1. Выразим y: y = 4 − x.
2. Выберем x = 0, 1, 2, 4 и получим пары (0; 4), (1; 3), (2; 2), (4; 0).
3. Отметим эти точки на координатной плоскости и проведём через них прямую.

Ответ: например, решения — (0; 4), (1; 3), (2; 2), (4; 0); график — прямая y = 4 − x.

Графическое решение системы

Условие: решить графически систему x + y = 5, x − y = 1. Нужно построить обе прямые, а затем найти точку, принадлежащую им одновременно. Для проверки найденные координаты подставляют в оба уравнения.

1. Из первого уравнения получаем y = 5 − x, из второго — y = x − 1.
2. Построим обе прямые; они пересекаются в точке с координатами (3; 2).
3. Проверим: 3 + 2 = 5 и 3 − 2 = 1, оба равенства верны.

Ответ: решение системы — пара (3; 2).

Типичные ошибки

Отдельное число вместо пары. Иногда решением называют только найденное значение x и забывают про y. Это происходит по привычке от уравнений с одной переменной. Запишите обе координаты и подставьте их вместе.

Неправильная подстановка. Можно поставить первое число вместо y или потерять знак отрицательного числа. Ошибку обнаружит запись с явными скобками: например, b · (−2). После вычислений проверьте соответствие координат переменным.

Уравнению приписывают одно решение. Выбор одной подходящей пары не означает, что других нет. Подставьте другое значение одной переменной и найдите вторую: обычно получится новая пара на той же прямой.

Проверяют только одно уравнение системы. Пара может выполнить первое равенство, но нарушить второе. Подстановка в оба уравнения — обязательная финальная проверка.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны координатная плоскость, координаты точки и построение прямой по двум точкам. Также пригодятся подстановка чисел вместо переменных и преобразование простых буквенных выражений. Линейные системы станут основой для изучения разных способов решения уравнений и текстовых задач, в которых неизвестные связаны двумя условиями.

Что запомнить

• Решение уравнения с двумя переменными — упорядоченная пара чисел.
• Чтобы проверить пару, подставь её координаты в уравнение.
• График линейного уравнения с двумя переменными — прямая.
• Решение системы удовлетворяет всем её уравнениям.
• Графическое решение системы — точка пересечения графиков.
• Параллельные прямые не имеют общих точек, совпадающие имеют бесконечно много общих точек.