"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.
Двучлен — выражение из двух слагаемых, например a + b или 3x − 2. Его квадрат и куб можно раскрывать по формулам, не перемножая каждый раз длинные выражения. В формулах квадрата важны два квадрата и среднее слагаемое, а в формулах куба — коэффициенты 3. Эти правила помогают быстрее преобразовывать выражения и выполнять действия как в прямом, так и в обратном направлении.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Двучлен — многочлен из двух слагаемых. Слагаемыми могут быть числа, переменные или целые выражения, например x + 4 или 3a − 2b. Двучлены удобно обозначать буквами a и b, чтобы записывать общие правила. Тогда формулы подходят для разных чисел и выражений.
Квадрат суммы — возведение суммы двух выражений в квадрат: (a + b)². Он раскрывается как квадрат первого слагаемого, удвоенное произведение слагаемых и квадрат второго: a² + 2ab + b². Формула позволяет не перемножать скобки каждый раз заново. По ней также можно проверить, является ли многочлен квадратом суммы.
Квадрат разности — возведение разности двух выражений в квадрат: (a − b)². Его части похожи на части квадрата суммы, но среднее слагаемое отрицательное: a² − 2ab + b². Это различие важно учитывать при раскрытии скобок. Формула помогает преобразовать выражение и избежать ошибок со знаками.
Куб суммы — произведение трёх одинаковых сумм: (a + b)³ = (a + b)(a + b)(a + b). После раскрытия скобок коэффициенты слагаемых идут в порядке 1, 3, 3, 1: a³ + 3a²b + 3ab² + b³. Такая запись показывает, сколько раз возникают одинаковые слагаемые при умножении. Аналогичная формула существует для куба разности.
Чтобы раскрыть квадрат двучлена, сначала представим его как произведение двучлена на самого себя: (a + b)² = (a + b)(a + b). Перемножим каждое слагаемое первой скобки на каждое слагаемое второй и получим a² + ab + ab + b². Два средних слагаемых подобны, потому что оба равны ab. После их сложения выходит a² + 2ab + b².
Среднее слагаемое 2ab возникает не по отдельному правилу, а непосредственно из умножения скобок. В произведении (a + b)(a + b) есть два способа получить произведение a и b: умножить a на b или b на a. Оба результата равны ab, поэтому их сумма равна 2ab. Если убрать это слагаемое, произведение раскроется неверно: останутся только результаты умножения одинаковых частей.
В квадрате разности нужно раскрыть произведение (a − b)(a − b). Перемножение даёт a² − ab − ab + b²: два произведения разных слагаемых отрицательны, потому что каждое содержит один множитель −b. Они складываются в −2ab. Последнее слагаемое положительно, ведь (−b)(−b) = b², поэтому итоговая формула имеет вид a² − 2ab + b².
Формулы куба можно получить последовательным умножением квадрата двучлена на сам двучлен. Для суммы берём (a² + 2ab + b²)(a + b), раскрываем скобки и собираем подобные слагаемые. Слагаемое a²b появляется трижды, а ab² тоже появляется трижды, поэтому коэффициенты при них равны 3. Для разности умножаем a² − 2ab + b² на a − b: знаки полученных частей после приведения дают a³ − 3a²b + 3ab² − b³.
Формулы работают не только слева направо, но и справа налево. Если выражение совпадает с правой частью формулы по степеням, коэффициентам и знакам, его можно свернуть в квадрат или куб двучлена. Например, для квадрата сначала находят корни из крайних квадратных слагаемых, а затем проверяют среднее. Такая проверка помогает не принять похожий, но неподходящий многочлен за результат возведения в степень.
| Двучлен | Формула | Знак среднего слагаемого | Коэффициенты слагаемых |
|---|---|---|---|
| Квадрат суммы | (a + b)² = a² + 2ab + b² | Плюс | 1, 2, 1 |
| Квадрат разности | (a − b)² = a² − 2ab + b² | Минус | 1, −2, 1 |
| Куб суммы | (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ | Плюс у обоих средних | 1, 3, 3, 1 |
| Куб разности | (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ | Знаки чередуются | 1, −3, 3, −1 |
Сначала выберите строку, соответствующую степени двучлена и знаку между его частями. Затем сопоставьте части выражения с буквами a и b, сохраняя скобки при подстановке. В кубе разности особенно внимательно проверьте чередование знаков.
Задача 1. Раскройте скобки: (x + 4)². Здесь записан квадрат суммы, поэтому используем формулу (a + b)² = a² + 2ab + b². Первое слагаемое — x, второе — 4. Подстановка в формулу позволяет учесть и квадраты, и произведение этих слагаемых.
Ответ: x² + 8x + 16. Среднее слагаемое положительное, потому что исходный двучлен — сумма.
Задача 2. Раскройте скобки: (3a − 2b)². Это квадрат разности, значит, среднее слагаемое будет отрицательным, а последний квадрат — положительным. Важно возвести в квадрат целые слагаемые 3a и 2b, а не только их буквенные части. Для среднего члена используем удвоенное произведение слагаемых.
Ответ: 9a² − 12ab + 4b².
Задача 3. Представьте выражение 8x³ − 36x²y + 54xy² − 27y³ в виде куба двучлена. В многочлене четыре слагаемых, а знаки чередуются, как в формуле куба разности. Сначала проверим крайние слагаемые: 8x³ = (2x)³, а 27y³ = (3y)³. Значит, предполагаемый двучлен имеет части 2x и 3y, после чего остаётся проверить средние члены.
Ответ: (2x − 3y)³.
Некоторые записывают (a + b)² = a² + b², забывая среднее слагаемое. Так происходит, если квадрат суммы ошибочно понимают как возведение в квадрат каждого слагаемого отдельно. Проверка простая: перемножьте скобки и убедитесь, что произведение ab возникает дважды. Поэтому между квадратами обязательно должно быть 2ab.
В формуле (a − b)² иногда ставят минус перед b². Ошибка появляется из-за того, что в скобках стоит отрицательное слагаемое, хотя при умножении оно перемножается само на себя. Проверьте последний член отдельно: (−b)(−b) = b². Значит, последний квадрат положителен, а минус относится только к среднему слагаемому.
При раскрытии куба двучлена могут оставить только куб первого и последнего слагаемых. Так бывает, когда куб ошибочно воспринимают как возведение в куб каждой части по отдельности. Но после трёхкратного умножения возникают ещё два средних слагаемых. Сверьтесь с формулой: в ней четыре члена, а коэффициенты равны 1, 3, 3 и 1.
При возведении выражения с коэффициентом иногда забывают возвести в степень и сам коэффициент, например пишут (2x)² = 2x². Это происходит, если степень применяют только к переменной. Проверьте выражение как произведение: (2x)(2x) = 4x². Степень относится ко всему слагаемому, поэтому (3a)² = 9a², а не 3a².
Для вывода формул и их применения нужно уметь умножать одночлены и многочлены, раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые. Если эти действия освоены, можно понять, откуда берётся каждое слагаемое формулы, а не просто запоминать её. При проверке раскрывайте произведение и сравнивайте результат с ответом.
Формулы квадрата и куба помогают быстрее выполнять тождественные преобразования и упрощать выражения. Их обратное применение позволяет разложить многочлен на множители, свернув его в квадрат или куб двучлена. Это пригодится и в следующих задачах, где выражения с буквами нужно преобразовать к удобному виду.
Почему в квадрате суммы появляется слагаемое 2ab?
Квадрат суммы — это произведение (a + b)(a + b). При умножении слагаемое ab получается дважды: из a · b и b · a, поэтому вместе они дают 2ab.
Почему в квадрате разности последнее слагаемое положительное?
Последнее слагаемое получается при умножении −b на −b. Произведение двух отрицательных чисел положительно, поэтому возникает b².
Как не перепутать знаки в формулах квадрата суммы и квадрата разности?
Квадраты первого и второго слагаемых в обеих формулах положительны. Средний член имеет знак между слагаемыми исходного двучлена: плюс в квадрате суммы и минус в квадрате разности.
Откуда берутся коэффициенты 3 в формуле куба двучлена?
При умножении квадрата двучлена на сам двучлен одинаковые слагаемые возникают по три раза. После приведения подобных слагаемых каждое такое сочетание получает коэффициент 3.
Как понять, что многочлен можно свернуть в квадрат или куб двучлена?
Сравните его с формулами: проверьте степени слагаемых, коэффициенты и знаки. Например, у квадрата должны быть два квадратных слагаемых и среднее, равное удвоенному произведению их корней; у куба коэффициенты соответствуют 1, 3, 3, 1.
39. Возведение двучлена в степень
