"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Квадрат двучлена — это произведение суммы или разности двух выражений на саму себя. При раскрытии скобок получаются квадраты слагаемых и их удвоенное произведение: (a + b)² = a² + 2ab + b², а (a − b)² = a² − 2ab + b². Эти формулы помогают быстро преобразовывать выражения с числами, одночленами и многочленами, а также проверять вычисления и готовить выражения к разложению на множители.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадрат суммы — выражение (a + b)², где a и b обозначают слагаемые. Возвести сумму в квадрат значит умножить её саму на себя: (a + b)² = (a + b)(a + b). Такая запись помогает перейти от степени к обычному умножению и увидеть все слагаемые, которые появятся после раскрытия скобок.
Формула квадрата суммы имеет вид (a + b)² = a² + 2ab + b². Здесь a² — квадрат первого слагаемого, b² — квадрат второго, а 2ab — удвоенное произведение слагаемых. Формула нужна, чтобы раскрывать скобки короче, чем при полном умножении двучлена на себя.
Квадрат разности — выражение (a − b)², которое означает произведение (a − b)(a − b). Второе слагаемое здесь вычитается, поэтому при умножении возникают произведения с отрицательным знаком. Запись произведения особенно полезна, когда нужно проверить, откуда взялись знаки в раскрытом выражении.
Формула квадрата разности записывается так: (a − b)² = a² − 2ab + b². Средний член отрицательный, потому что при умножении получаются два произведения −ab и −ab, а вместе они дают −2ab. Последний член всё равно положительный: второй член умножается сам на себя, и (−b)(−b) = b².
Чтобы возвести двучлен в квадрат, его записывают два раза как множители: (a + b)² = (a + b)(a + b). Это не означает, что нужно просто возвести каждый член в квадрат: при умножении каждый член первой скобки умножается на каждый член второй. Поэтому помимо a² и b² обязательно появляются произведения между разными слагаемыми.
Раскроем квадрат суммы распределительным свойством: (a + b)(a + b) = a·a + a·b + b·a + b·b. Крайние произведения равны a² и b², а два средних одинаковы, потому что ab = ba. Складывая ab + ab, получаем 2ab, откуда и выходит формула (a + b)² = a² + 2ab + b².
Квадрат разности раскрывается похожим способом: (a − b)(a − b) = a·a − a·b − b·a + b·b. Два средних произведения имеют знак минус, ведь в каждом участвует вычитаемый член −b. Их сумма равна −ab − ab = −2ab, поэтому получаем a² − 2ab + b².
Если сопоставить формулы, видно, что крайние члены в обоих случаях — квадраты слагаемых, и каждый из них положителен. Меняется только знак среднего члена: у суммы он положительный, у разности — отрицательный. Это связано не с тем, что квадраты меняют знак, а с тем, какой знак имеет произведение между разными слагаемыми.
Формулы работают не только для букв a и b. На их место можно подставить числа, одночлены или целые выражения, сохраняя порядок действий: сначала квадрат первого члена, затем удвоенное произведение, затем квадрат второго. Например, для (x + 3)² нужно взять a = x и b = 3. Если подставляются выражения со знаками, внимательно учитывайте их при вычислении произведения и квадрата.
| Что возводим в квадрат | Формула | Средний член |
|---|---|---|
| Сумму a и b | (a + b)² = a² + 2ab + b² | 2ab |
| Разность a и b | (a − b)² = a² − 2ab + b² | −2ab |
Сначала определите, сумма или разность записана в скобках, а затем выберите нужную строку таблицы. Подставляя выражения вместо a и b, проверяйте отдельно три части: квадрат первого члена, удвоенное произведение и квадрат второго.
В скобках стоит сумма двух слагаемых: x и 3. Используем квадрат суммы, где a = x, а b = 3, и по очереди найдём каждый член результата. Так легче не пропустить удвоенное произведение.
Ответ: x² + 6x + 9. Средний член равен 6x, а не 3x, потому что произведение x и 3 появляется дважды при умножении скобок на себя.
Здесь первый член — 2a, второй — 5b, а между ними стоит минус. Подставляем эти выражения в формулу квадрата разности: квадрат первого минус удвоенное произведение плюс квадрат второго. Не забываем, что при возведении коэффициента в квадрат он тоже умножается сам на себя.
Подобных слагаемых здесь нет, поэтому объединять их не требуется. Ответ: 4a² − 20ab + 25b². Проверка знака: средний член отрицателен из-за знака разности, а последний положителен, потому что (−5b)(−5b) = 25b².
В выражении вычитаются два квадрата, и каждый из них можно раскрыть своей формулой. Удобно сначала поставить скобки вокруг результата второго квадрата: перед ним стоит минус, который при раскрытии внешних скобок поменяет знаки его слагаемых. После этого соберём подобные члены.
Ответ: 16x. Квадратные и постоянные слагаемые взаимно уничтожились, а два слагаемых 8x сложились. Ошибиться здесь легко, если забыть, что минус перед скобками меняет знак каждого её члена.
Записывают (a + b)² = a² + b², пропуская средний член. Так происходит, если возвести в квадрат каждый член отдельно и забыть, что исходная сумма умножается на себя целиком. Проверьте себя умножением (a + b)(a + b): в раскрытии обязательно будут ab и ba, то есть 2ab.
В квадрате разности иногда ошибочно ставят минус перед всеми членами: a² − 2ab − b². Обычно это связано с тем, что знак минус в скобках переносят на весь результат. Но последний член получается из (−b)(−b), а произведение двух отрицательных чисел положительно; при проверке раскройте скобки полностью.
Ещё одна ошибка — написать в середине ab вместо 2ab. Ученик может учесть только одно произведение разных членов, хотя при умножении двучлена на себя возникают ab и ba. Перемножьте скобки по распределительному свойству и убедитесь, что одинаковые произведения складываются.
При подстановке одночленов можно неверно возвести коэффициенты в квадрат или потерять знак и множитель 2. Например, средний член для (2a − 5b)² — не −10ab, а −20ab: нужно вычислить −2 · 2a · 5b. Чтобы проверить ответ, отдельно найдите два квадрата и удвоенное произведение, а затем проверьте знак каждого результата.
Для вывода формул нужны умножение многочлена на многочлен и распределительное свойство: именно они позволяют раскрыть произведение двучлена на себя. После раскрытия скобок похожие слагаемые объединяют приведением подобных слагаемых. Освоенные формулы затем помогают преобразовывать выражения и подготавливать многочлены к разложению на множители.
Почему в формуле появляется удвоенное произведение?
При умножении двучлена на себя возникают два одинаковых произведения: ab и ba. Их сумма равна 2ab.
Почему при возведении разности в квадрат последний член положительный?
Последнее слагаемое получается при умножении второго члена на самого себя: (−b)(−b) = b². Произведение двух отрицательных чисел положительно.
Как не перепутать знаки в формулах квадрата суммы и разности?
Квадраты первого и второго слагаемых всегда записываются со знаком плюс. Знак среднего члена такой же, как знак между слагаемыми в исходных скобках.
Можно ли применять формулы, если вместо букв стоят многочлены?
Да: вместо a и b можно подставить любые выражения, в том числе многочлены. Нужно возвести каждое выражение в квадрат и отдельно найти их удвоенное произведение.
Как проверить раскрытие скобок умножением двучлена на себя?
Запишите квадрат как произведение двух одинаковых двучленов и перемножьте их по распределительному свойству. Затем сравните полученные слагаемые с результатом по формуле.
39. Возведение двучлена в степень
