§ 14. Преобразование целых выражений

Определения и обозначения

Целое выражение — выражение, составленное из чисел, переменных и действий сложения, вычитания, умножения и возведения в натуральную степень. Например, 3x² − 2x + 5 — целое выражение. В дробном выражении переменная может стоять в знаменателе, например 1/(x + 2); такое выражение определено не при всех значениях переменной. Различие важно, потому что при преобразованиях дробного выражения нужно учитывать значения, при которых знаменатель обращается в ноль.

Тождественно равные выражения принимают одинаковые значения при всех допустимых значениях переменных. Например, 2(x + 3) и 2x + 6 равны при любом x. Допустимыми называют значения, при которых выражение имеет смысл. Это понятие позволяет менять форму записи, не меняя самого выражения, и проверять, что преобразование выполнено верно.

Раскрытие скобок — замена выражения со скобками равным выражением без скобок с учётом знака перед ними. Например, a − (b − c) превращается в a − b + c. Скобки помогают увидеть, какие слагаемые объединены, а их раскрытие делает выражение удобнее для дальнейших действий. При этом знак перед скобками влияет на каждый член внутри.

Приведение подобных слагаемых — замена суммы подобных слагаемых одним слагаемым. Например, 3x − 5x = −2x: буквенная часть x остаётся, а числа перед ней складываются. Это действие сокращает запись и помогает получить выражение в более простом виде. Слагаемые с разными буквенными частями объединять нельзя.

Как это устроено

Преобразования выражений опираются на свойства сложения и умножения. Переместительное свойство позволяет менять слагаемые или множители местами, а сочетательное — по-разному объединять их в группы. Распределительное свойство связывает умножение со сложением: k(a + b) = ka + kb. Благодаря этим правилам можно менять порядок действий в записи, не меняя её значения.

Если перед скобками стоит плюс, знаки слагаемых внутри сохраняются: a + (b − c) = a + b − c. Причина в том, что прибавить сумму — значит прибавить каждое её слагаемое. Поэтому плюс перед скобками можно убрать без изменения того, что находится внутри. Например, x + (2y − 3) = x + 2y − 3.

Минус перед скобками означает вычитание всего выражения в скобках. Вычитание суммы заменяют сложением противоположной суммы, поэтому каждый её член меняет знак: a − (b − c) = a − b + c. Здесь меняется знак не только у первого слагаемого, но и у каждого следующего. Так, 8 − (x + 4 − y) = 8 − x − 4 + y.

Когда перед скобками стоит множитель, его умножают на каждое слагаемое внутри: k(a + b) = ka + kb. Это распределительное свойство; если забыть умножить хотя бы один член, получится уже другое выражение. Действовать можно и наоборот: если в слагаемых есть общий множитель, его выносят за скобки, например 6x + 6y = 6(x + y). Такая запись иногда делает выражение короче и заметнее.

Подобные слагаемые удобно приводить после раскрытия скобок, когда видны все отдельные члены выражения. Сначала находят одинаковые буквенные части, а затем складывают или вычитают коэффициенты при них. Например, 4x + 2 − 7x = (4 − 7)x + 2 = −3x + 2. Буквенную часть нельзя складывать с коэффициентом: в 4x слагаемое x остаётся общей частью, а число 4 — его коэффициентом.

Правила преобразования выражений со скобками

Сначала определи, что стоит перед скобками: плюс, минус или множитель. Затем примени соответствующее правило и только после раскрытия скобок ищи подобные слагаемые. Таблица помогает выбрать нужное действие и проверить знаки; используй её как последовательность шагов, а не как набор правил для заучивания без примеров.

Разбор задач

Раскройте скобки и упростите: 7x − (2x − 5).

Перед скобками стоит минус, поэтому нужно изменить знаки обоих слагаемых внутри. После этого появятся два слагаемых с x, которые можно объединить. Число 5 останется отдельным слагаемым, так как у него нет буквенной части.

1. Меняем знаки в скобках: 7x − (2x − 5) = 7x − 2x + 5.
2. Приводим подобные слагаемые: 7x − 2x = 5x.
3. Записываем результат: 5x + 5.

Ответ: 5x + 5. Для проверки можно подставить, например, x = 1: исходное выражение равно 7 − (2 − 5) = 10, а результат — 5 + 5 = 10.

Упростите: 3a(2a − 1) − 2(a² − 4a).

Здесь два действия со скобками, и важно не потерять множитель −2 перед второй из них. Сначала распределим множители внутри обеих скобок, а знак минус у второго множителя учтём при умножении. Затем объединим члены с a² и отдельно — с a.

1. Раскрываем первые скобки: 3a(2a − 1) = 6a² − 3a.
2. Учитываем внешний множитель −2 во второй части: −2(a² − 4a) = −2a² + 8a.
3. Записываем полученную сумму: 6a² − 3a − 2a² + 8a.
4. Приводим подобные: (6 − 2)a² + (−3 + 8)a = 4a² + 5a.

Ответ: 4a² + 5a. Коэффициент −2 умножился на оба слагаемых в скобках, поэтому второй член стал положительным: (−2) · (−4a) = 8a.

Преобразуйте 6x² − 9x + 2x(3x − 4) в равное выражение без скобок и приведите подобные слагаемые.

В выражении уже есть отдельные члены 6x² и −9x, а скобки умножаются на 2x. Распределим этот множитель, не меняя знаки слагаемых внутри, затем сгруппируем члены с одинаковыми буквенными частями. Так легче не смешать слагаемые с x² и с x.

1. Умножаем 2x на каждый член скобок: 2x(3x − 4) = 6x² − 8x.
2. Подставляем вместо произведения полученную сумму: 6x² − 9x + 6x² − 8x.
3. Группируем подобные слагаемые: (6x² + 6x²) + (−9x − 8x).
4. Складываем коэффициенты: 12x² − 17x.

Ответ: 12x² − 17x. Степени x² и x различаются, поэтому эти части не объединяются. Проверить результат можно подстановкой любого числа вместо x и сравнением значений двух выражений.

Типичные ошибки

Иногда при минусе перед скобками меняют знак только у первого слагаемого. Так происходит, когда минус воспринимают как знак одного числа, хотя он относится ко всему выражению в скобках. Раскрывай скобки по каждому члену отдельно: a − (b + c) = a − b − c. Для проверки мысленно поставь перед скобками множитель −1 и умножь на него каждый член.

При умножении на скобки можно по ошибке умножить внешний множитель только на первое слагаемое. Причина — внимание сосредоточено на начале выражения, а распределительное свойство требует обработать все слагаемые. Например, 3(x + 2) = 3x + 6, а не 3x + 2. Проверь, что у каждого члена внутри скобок появился множитель.

Другая ошибка — объединять слагаемые с разными буквенными частями или складывать сами буквы. Обычно так происходит, когда похожие на числа записи принимают за обычные числа. В выражении 2x + 3y слагаемые не подобны, поэтому сумму нельзя заменить одним членом. Сравни буквенные части до вычисления: совпадают только те, у которых одинаковы переменные и их степени.

После раскрытия скобок легко потерять знак отрицательного коэффициента или неверно перемножить знаки. Например, в −2(a − 4) второй член становится +8, потому что −2 · −4 = +8. Отделяй множители и сначала определяй знак их произведения, а затем записывай результат. Если сомневаешься, проверь раскрытие на простом значении переменной, подставив его в исходную и преобразованную записи.

Связь с другими темами

Чтобы преобразовывать выражения, нужно знать свойства сложения и умножения, а также правила знаков при этих действиях. Полезно уметь распознавать одночлены и подобные слагаемые: это помогает понять, какие члены можно объединить. Ещё один нужный навык — подстановка значений переменных для вычисления выражения и проверки результата.

Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых понадобятся при умножении многочленов и разложении многочленов на множители. Те же преобразования помогают упростить запись перед решением уравнения. Поэтому аккуратная работа со знаками и членами выражения станет основой для следующих тем алгебры.

Что запомнить

• Тождественное преобразование заменяет выражение равным ему выражением.
• После знака «+» знаки слагаемых в скобках сохраняются.
• После знака «−» знаки всех слагаемых в скобках меняются.
• Множитель перед скобками умножается на каждое слагаемое.
• Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть.
• При приведении подобных слагаемых складывают их коэффициенты.